Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p>1>,p>2>).

А>1>- аффинная прямая. Отнесем прямую А>1>> >к подвижному реперу r = {a,e}, где а иe соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= e , de= We (1),

причем формы Пфаффа  и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D  = W , DW=WW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =e + de + 1/2d2e + 1/6d3e +... по отношению к вектору е. Тогда e* =e*e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора e* , близкого к e , по отношению к e.

Пусть R(p>1>,p>2>) – пространство всех пар (p>1>,p>2>) точек p>1>,p>2>> > прямой А>1>>.> Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р>1>2>, а конец вектора е – в точку р>1>; при этом р>2>> >совместится с концом вектора -е.

Условия стационарности точек р>1> и р>2> в таком репере имеют соответственно вид: W+=0, -W+=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р>1>,р>2>) являются формы Пфаффа : W+ , -W+.

Очевидно, что dim R(p>1>,p>2>)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р>1>>2>*, близкого к р>1>р>2>,по отношению к р>1>р>2>.

§ 2. Отображение f.

А>2> – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,e>j>}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А>2> имеют соответственно вид :dp=Wje>j> ; de>j>= W>j> k;

DWj=Wk^W>k>j ; DWj=W>j>y^W>y>k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А>2> в пространстве R(p>1>,p>2>):f:A>2>R(p>1>,p>2>).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1(p>1>,p>2>). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=>j>Wj ; Q-W=>j>Wj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p>1>,p>2>)A>2> обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj=j(Q+W)+j(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

k>j>+k>j>=>j>k

j>j>=1

j>j>=1 (*)

j>j>=0

j>j>=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А>1> и А>2> будем называть репером нулевого порядка отображения f.

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ>j>Wj-W-Q)=0,

получаем :

>j>>k>W>j>k+1\4(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)Wk>jk>Wk

D(μ>j>Wj+W-Q)=0

получаем :

>j>>k>W>j>k+1\4(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)Wk>jk>Wk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λ>j>Wj

Q-W=μ>j>Wj

>j>>k>W>j>k+1\4(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)Wk>jk>Wk

>j>>k>W>j>k+1\4(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)Wk>jk>Wj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г>1>=>j>>j>} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

>k>^W>j>k>k>dW>j>k+1\4(λjμ>k>>k>μ>j>)^Wk+1\4(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)dWk+dλ>jk>^Wk>jk>dWk=0.

получим:

(dλ>jt>>kt>W>j>k>jk>W>t>k+1\4(λ>k>μ>jt>>k>λ>jk>)Wk+1\16λ>t>μ>k>>j>>j>)Wk)^Wt=0

>k>^W>j>k>k>dW>j>k+1\4d(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)^Wk+1\4(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)dWk+dμ>jk>^Wk>jk>dWk=0

получим:

(dμ>jt>>kt>W>j>k>jt>W>t>k+1\4(λ>k>μ>jt>>k>λ>jt>)Wk+1\16λ>t>μ>k>>j>>j>)Wk)^Wt=0

обозначим:

λ>j>=dλ>j>>t>W>j>t

μ>j>=dμ>j>>t>W>j>t

λ>jk>=dλ>jk>>tk>W>k>t>jt>W>k>t

μ>jk>=dμ>tk>W>j>t>jt>W>k>t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:

Q+W=λ>j>Wj

Q-W=μ>j>Wj

>j>>k>W>j>k+1\4(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)Wk>jk>Wk

>j>>k>W>j>k+1\4(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)Wk>jk>Wk (4)

λ>jk>=(1\4(μ>α>λ>jk>>α>μ>jk>)+1\16λ>k>μ>α>>j>>j>)+λ>jkα>)Wα

μ>jk>=(1\4(μ>α>λ>jk>>α>μ>jk>)+1\16λ>k>μ>α>>j>>j>)+μ>jkα>)Wα

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г>2>=>j>>j>>jk>>jk>} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г>Р> порядка р :

Г>Р>=>j>>j>>j1j2>>j1j2>,...,λ>j1j2...jp>>j1j2...jp>}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин >j>},{μ>j>} образует подобъекты геометрического объекта Г>1>. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ>j>Xj=1 ; μ>j>Xj=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины jj} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины jj} охватываются объектом Г>1>.

Из (*) получаем:

j=-λkW>k>j-1\4(λjj>t>Wt>kt>λkλtWt>kt>Wtkμj

j=-μkW>k>j>kt>μkλjWt>kt>μkμjWt+1\4λ>t>jj)Wt

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г>1>. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v>1>je>j>> >(вектора v>2>je>j>) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

λ>j>Xj=0 , μ>j>Xj = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы j} и j} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λ>j>Xj=1

V>2>

V>1> μ>j>Xj=1

Система величин ρ>j>>j>>j> образует ковектор: >j>>k>W>j>k+(μ>jk>>jk>)Wk.

Определяемая им прямая ρ>j>Xj=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R(p>1>,p>2>) содержащее элементы >1>>2>) определяемое условием: >1>*>2>*)W↔p>1>*p>2>*=p>1>p>2>.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W) многообразия W при отображении f.

Доказательство:

] (p>1>*,p>2>*)W и p>1>*=p>1>+dp>1>+1\2d2p>1>+... ,

p>2>*=p>2>+dp>2>+1\2d2p>2>+... .

Тогда в репере Г: p>1>*p>2>*=e p>1>p>2>, где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р>1>*р>2>* по отношению к р>1>р>2>. Таким образом, >1>*р>1>*)W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ>1>Wj

Следовательно, >1>*р>2>*)W равносильно ρ>j>Wj=0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента >1>>2>)R(p>1>p>2>) определяется функция h: (p>1>*p>2>*)h(p>1>p>2>)→eR, так, что р>1>*р>2>*=е р>1>р>2>

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W).

]W>1>,W>2>- одномерные многообразия в R(p>1>p>2>), содержащие элемент >1>р>2>) и определяемые соответственно уравнениями:

(p>1>*,p>2>*)єW>1>↔p>2>*=p>2>.

(p>1>*,p>2>*)єW>2>↔p>1>*=p>1>.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W>2> (многообразия W>1>) при отображении f.

Дифференциальные уравнения линии f-1(W>1>) и f-1(W>2>) имеют соответственно вид:

λ>j>Wj=0

μ>j>Wj=0.

Пусть W>0>- одномерное подмногообразие в R(p>1>p>2>), содержащее >1>р>2>) и определяемое условием: (p>1>*p>2>*)єW>0>↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р>1>*р>2>*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая >j>>j>)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W>0>) многообразия W>0> при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f-1(W>0>) имеет вид: >j>>j>)Wj=0.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W>1>), f-1(W>2>), f-1(W), f-1(W>0>) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

Рассмотрим отображения:

П>1>: (р>1>>2>)R(p>1>,p>2>)→p>1>A>1> (5.1)

П>2>: (р>1>>2>)R(p>1>,p>2>)→p>2>A>1> (5.2)

Отображение f: A>2>→R(p>1>,p>2>) порождает точечные отображения:

φ>1>=П>1>f: A>2>→A>1> (5.3)

φ>2>=П>2>f: A>2>→A>1> (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ>1> и φ>2> меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г>1,2>={λ>j>>jk>} и Г>2,2>=>j>>jk>} объекта Г>2> являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ>1> и φ>2>.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λ>j>Xj+1/2λ>jk>XjXk+1/4λ>y>ρ>k>XjXk+<3>, (5.5)

y=-1+μ>j>Xj+1/2μ>jk>XjXk+1/4μ>y>ρ>k>XjXk+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λ>jk>>jk>+1/4(λ>j>ρ>k>>k>ρ>j>),

Μ>jk>>jk>+1/4(μ>j>ρ>k>>k>ρ>j>)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λ>j>Xj+1/2Λ>jk>XjXk+<3> (5.7)

y=-1+μ>j>Xj+1/2Μ>jk>XjXk+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А>2>, в котором выполняется:

λ>1 > λ>2> 1 0

=

μ>1> μ>2> 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1+1/2Λ>jk>XjXk+<3> (5.9),

y=-1+X2+1/2Μ>jk>XjXk+<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

G>jk>=1/2(λ>j>μ>k>>k>μ>j>)

Из (3.1) получим:

dG>jk>=1/2(dλ>j>k>+λ>j>k>+dλ>k>j>+λ>k>dμ>j>)=1/2(μ>k>t>W>j>t+1/4λ>j>k>t>Wt-1\4μ>k>t>t>Wt>k>jt>Wt>j>t>W>k>t+

+1/4λ>j>k>t>Wt-1/4μ>j>k>t>Wt-1/4μ>j>t>k>Wt>j>kt>Wt>k>t>W>j>t+1/4λ>k>j>t>Wt-1/4λ>k>t>j>Wt+

>k>jt>Wt),

dG>jk>=1/2(μ>k>λ>t>>k>μ>t>)W>j>t+1/2(λ>j>μ>t>>t>μ>j>)W>k>t+G>jkt>Wt,

где G>jkt>=1/2(μ>k>jt>+λ>y>kt>+μ>j>kt>+λ>k>jt>-1/2μ>j>kt+1/2λ>j>k>t>-1/4λ>j>k>t>+1/4λ>j>k>t>+1/4μ>j>k>t>-

-1/4μ>j>k>t>) (6.3).

Таким образом, система величин {G>jk>} образует двухвалентный тензор. Он задает в А>2> инвариантную метрику G:

dS2=G>jk>WjWk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS22-W2 (6.5) в R(p>1>,p>2>).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением G>jk>WjWk=0 или

λ>j>Wjμ>k>Wk=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V>1> и V>2> определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU)

Теорема: Метрика dS22-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p>1>,p>2>,p>1>+dp>1>,p>2>+dp>2>

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS22-W2

Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гl>jk>=1/2Gtl(G>tkj>+G>jtk>-G>jkt>)

п
севдоримановой связности G фундаментальным объектом Г>2>=>j>>j>>jk>>jk>}.

Он определяется формулой: Гl>jk>jΛ>jk>lΜ>jk>lλ>t>λ>k>lμ>t>μ>k>.

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

g>jk>>j>λ>k>>j>μ>k> (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg>jk>=dλ>j>k>+dλ>k>j>+dμ>j>k>+dμ>k>j>=λ>k>t>W>j>t+1/4λ>k>j>t>Wt-1/4λ>j>t>j>Wt>k>jt>Wt>j>t>W>k>t+

+1/4λ>j>k>t>Wt-1/4λ>j>t>k>Wt>j>kt>Wt>k>t>W>j>t+1/4μ>k>j>t>Wt-1/4μ>k>t>j>Wt>k>jt>Wt+

>j>t>W>k>t+1/4μ>j>k>t>Wt-1/4μ>j>t>k>Wt>j>kt>Wt.

dg>jk>=(λ>k>λ>t>>k>μ>t>)W>j>t+(λ>j>λ>t>>j>μ>t>)W>k>t+g>jkt>Wt, (7.2)

где g>jkt>=1/2λ>j>λ>k>μ>t>-1/2μ>j>μ>k>λ>t>-1/4λ>k>λ>t>μ>j>-1/4λ>j>λ>t>μ>k>+1/4λ>j>μ>k>μ>t>+1/4μ>j>λ>k>μ>t>>k>λ>jt>>j>λ>kt>+

>k>μ>jt>>j>μ>kt> (7.3)

Таким образом, система величин {g>jk>} образует двухвалентный тензор. Он задает в А>2> инвариантную метрику g:

dS2=g>jk>WjWk (6.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике:

dS2=2(θ2+W2) (6.5)

в R(p>1>,p>2>)

Из (6.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6.6)

или >j>Xj)2+(μ>j>Xj)2=1 (6.7)

Из (6.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

V>1>

V>2> рис.3.

Пусть gjkjλkjμk (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjtg>tk>=(λjλtjμt)(λ>t>λ>k>>t>μ>k>)=λjλkjμk>k>j (6.9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к g>jk>. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора j} (вектора j}) соответствует в метрике g полю основного ковектора >j>} (ковектора >j>}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство:

λjλkg>jk>jλkλ>j>λ>k>jλkμ>j>μ>k>=1,

μjμ>k>g>jk>jμkλ>j>λ>k>jμkμ>j>μ>k>=1,

λjμkg>jk>jμkλ>j>λ>k>jμkμ>j>μk=0.

Таким образом, f задает на А>2> структуру риманова пространства (A>2>,g>f>).

В работе <2> был построен охват объекта

γ>jk>l=1/2gtl(g>tkj>+g>jtk>-g>jkt>)

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г>2>=>j>>j>>jk>>jk>}

Он определяется формулой:

γ>jk>llΛ>jk>lM>jk>+G>jk>ll)+1/2(λll)(μ>j>μ>k>>j>λ>k>),

где G>jk>=1/2(λ>j>μ>k>>k>μ>j>).