Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (работа 1)

Ìîðôîëîãè÷åñêèé àíàëèç öâåòíûõ (ñïåêòðîçîíàëüíûõ) èçîáðàæåíèé.

Ïûòüåâ Þ.Ï.

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, Ìîñêâà, Ðîññèÿ

1. Ââåäåíèå

Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî изображения îäíîé è òîé æå ñöåíû, ïîëó÷åííûå ïðè ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ îñâåùåíèÿ è(èëè) èçìåíåííûõ1 îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ îáúåêòîâ ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ðàäèêàëüíî. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîðîæäàåò çíà÷èòåëüíûå òðóäíîñòè â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ àíàëèçà è èíòåðïðåòàöèè èçîáðàæåíèé ðåàëüíûõ ñöåí, â êîòîðûõ ðåøåíèå äîëæíî íå çàâèñåòü îò óñëîâèé ðåãèñòðàöèè èçîáðàæåíèé. Ðå÷ü èäåò, íàïðèìåð, î çàäà÷àõ âûäåëåíèÿ íåèçâåñòíîãî îáúåêòà íà ôîíå èçâåñòíîé ìåñòíîñòè, èçâåñòíîãî îáúåêòà íà ïðîèçâîëüíîì ôîíå ïðè íåêîíòðîëèðóåìûõ óñëîâèÿõ îñâåùåíèÿ, î çàäà÷å ñîâìåùåíèÿ èçîáðàæåííèé îäíîé è òîé æå ñöåíû, ïîëó÷åííûõ â ðàçëè÷íûõ ñïåêòðàëüíûõ äèàïàçîíàõ è ò.ä.

Ìåòîäû ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà, ðàçðàáîòàííûå áîëåå äåñÿòè ëåò òîìó íàçàä, [1-5], äëÿ ðåøåíèÿ ïåðå÷èñëåííûõ çàäà÷, áûëè â îñíîâíîì îðèåíòèðîâàíû äëÿ ïðèìåíåíèÿ ê ÷åðíî-áåëûì èçîáðàæåíèÿì2 è îêàçàëèñü äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûìè, [5-11].

Ìåæäó òåì, ïî ìåíüøåé ìåðå äâà îáñòîÿòåëüñòâà óêàçûâàþò íà öåëåñîîáðàçíîñòü ðàçðàáîòêè ìîðôîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ àíàëèçà öâåòíûõ èçîáðàæåíèé. Âî-ïåðâûõ, â çàäà÷å îáíàðóæåíèÿ è âûäåëåíèÿ îáúåêòà ïîñëåäíèé, êàê ïðàâèëî, ïðåæäå âñåãî öâåòîì îòëè÷àåòñÿ îò ôîíà. Âî-âòîðûõ, îïèñàíèå ôîðìû èçîáðàæåíèÿ â òåðìèíàõ öâåòà ïîçâîëèò ïðàêòè÷åñêè óñòðàíèòü ýôôåêò òåíåé è âëèÿíèå íåîïðåäåëåííîñòè â ïðîñòðàíñòâåííîì ðàñïðåäåëåíèè èíòåíñèâíîñòè ñïåêòðàëüíî îäíîðîäíîãî îñâåùåíèÿ.

2. Öâåò è ÿðêîñòü ñïåêòîçîíàëüíîãî èçîáðàæåíèÿ.

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå àñïåêòû òåîðèè öâåòà òàê íàçûâàåìûõ ìíîãîñïåêòðàëüíûõ (ñïåêòðîçîíàëüíûõ, [13]) èçîáðàæåíèé, àíàëîãè÷íîé êëàññè÷åñêîé êîëîðèìåòðèè [12]. Áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè n äåòåêòîðîâ èçëó÷åíèÿ ñî ñïåêòðàëüíûìè ÷óâñòâèòåëüíîñòÿìè > > j=1,2,...,n, ãäå Î(0,) - äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ. Èõ âûõîäíûå ñèãíàëû, îòâå÷àþùèå ïîòîêó èçëó÷åíèÿ ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ e()³0, (0,), äàëåå íàçûâàåìîé èçëó÷åíèåì, îáðàçóþò âåêòîð > >, w=> >. Îïðåäåëèì ñóììàðíóþ ñïåêòðàëüíóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü äåòåêòîðîâ > >, (0,), è ñîîòâåòñòâóþùèé ñóììàðíûé ñèãíàë > > íàçîâåì ÿðêîñòüþ èçëó÷åíèÿ e. Âåêòîð > > íàçîâåì öâåòîì èçëó÷åíèÿ e. Åñëè öâåò e è ñàìî èçëó÷åíèå íàçîâåì ÷åðíûì. Ïîñêîëüêó ðàâåíñòâà > > è ýêâèâàëåíòíû, ðàâåíñòâî > > èìååò ñìûñë è äëÿ ÷åðíîãî öâåòà, ïðè÷åì â ýòîì ñëó÷àå > > - ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, ÿðêîñòü îòîðîãî ðàâíà åäèíèöå. Èçëó÷åíèå eíàçîâåì áåëûì è åãî öâåò îáîçíà÷èì > > åñëè îòâå÷àþùèå åìó âûõîäíûå ñèãíàëû âñåõ äåòåêòîðîâ îäèíàêîâû:

> >.

Âåêòîðû > > , è > > , > >, óäîáíî ñ÷èòàòü ýëåìåíòàìè n-ìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà > >. Âåêòîðû f>e>, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì èçëó÷åíèÿì e, ñîäåðæàòñÿ â êîíóñå > >> >. Êîíöû âåêòîðîâ > > ñîäåðæàòñÿ â ìíîæåñòâå > >, ãäå Ï - ãèïåðïëîñêîñòü > >.

Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñÿêîå èçëó÷åíèå > > , ãäå E - âûïóêëûé êîíóñ èçëó÷åíèé, ñîäåðæàùèé âìåñòå ñ ëþáûìè èçëó÷åíèÿìè > > âñå èõ âûïóêëûå êîìáèíàöèè (ñìåñè) > > Ïîýòîìó âåêòîðû > > â > > îáðàçóþò âûïóêëûé êîíóñ > >, à âåêòîðû > >.

Åñëè > >òî è èõ àääèòèâíàÿ ñìåñü > >. Äëÿ íåå

> > > > > >. (1)

Îòñþäà ñëåäóåò

Ëåììà 1. ßðêîñòü f>e> è öâåò >e> ëþáîé àääèòèâíîé ñìåñè e èçëó÷åíèé e>1>(),...,e>m>(), m=1,2,... îïðåäåëÿþòñÿ ÿðêîñòÿìè è öâåòàìè ñëàãàåìûõ.

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðàâåíñòâî > >, îçíà÷àþùåå ôàêò ñîâïàäåíèÿ ÿðêîñòè è öâåòà èçëó÷åíèé e è > >, êàê ïðàâèëî, ñîäåðæèò ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøóþ èíôîðìàöèþ îá èõ îòíîñèòåëüíîì ñïåêòðàëüíîì ñîñòàâå. Îäíàêî çàìåíà e íà > > â ëþáîé àääèòèâíîé ñìåñè èçëó÷åíèé íå èçìåíèò íè öâåòà, íè ÿðêîñòè ïîñëåäíåé.

Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåêòîð w òàêîâ, ÷òî â E ìîæíî óêàçàòü áàçîâûå èçëó÷åíèÿ > >, äëÿ êîòîðûõ âåêòîðû > >, j=1,...,n, ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïîñêîëüêó öâåò òàêèõ èçëó÷åíèé íåïðåìåííî îòëè÷åí îò ÷åðíîãî, èõ ÿðêîñòè áóäåì ñ÷èòàòü åäèíè÷íûìè, > >, j=1,...,n.  òàêîì ñëó÷àå èçëó÷åíèå > > õàðàêòåðèçóåòñÿ ëèøü öâåòîì > >, j=1,...,n.

Äëÿ âñÿêîãî èçëó÷åíèÿ e ìîæíî çàïèñàòü ðàçëîæåíèå

> >, (1*)

â êîòîðîì > > - êîîðäèíàòû > > â áàçèñå > >,

èëè, â âèäå âûõîäíûõ ñèãíàëîâ äåòåêòîðîâ èçëó÷åíèÿ, - > >, ãäå > >, > >, - âûõîäíîé ñèãíàë i-ãî äåòåêòîðà, îòâå÷àþùèé j-îìó èçëó÷åíèþ >j>(), i, j=1,...,n. Ìàòðèöà > > - ñòîõàñòè÷åñêàÿ, ïîñêîëüêó åå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êàê ÿðêîñòè áàçîâûõ èçëó÷åíèé > > íåîòðèöàòåëüíû è > >, j=1,...,n. Ïðè ýòîì ÿðêîñòü > > è âåêòîð öâåòà > >, > >, j=1,...,n, (êîíåö êîòîðîãî ëåæèò â Ï) îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè >j> è öâåòàìè èçëó÷åíèé > >, j=1,...,n, è íå çàâèñÿò íåïîñðåäñòâåííî îò ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà èçëó÷åíèÿ e.

 ðÿäå ñëó÷àåâ áåëîå èçëó÷åíèå åñòåñòâåííî îïðåäåëÿòü èñõîäÿ èç áàçîâûõ èçëó÷åíèé, à íå èç âûõîäíûõ ñèãíàëîâ äåòåêòîðîâ, ñ÷èòàÿ áåëûì âñÿêîå èçëó÷åíèå, êîòîðîìó â (1*) îòâå÷àþò ðàâíûå êîîðäèíàòû: > >.

Çàìåòèì, ÷òî ñëàãàåìûå â (1*), ó êîòîðûõ >j><0,3 ôèçè÷åñêè èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå èçëó÷åíèÿì, "ïîìåùåííûì" â ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (1*) ñ êîýôôèöèåíòàìè ->j>>0: > >.  òàêîé ôîðìå ðàâåíñòâî (1*) ïðåäñòàâëÿåò “áàëàíñ èçëó÷åíèé”.

Îïðåäåëèì â > > ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå > > è âåêòîðû > >, áèîðòîãîíàëüíî ñîïðÿæåííûå ñ > >: > >, i,j=1,...,n.

Ëåììà 2.  ðàçëîæåíèè (1*) > >, j=1,...,n, > >. ßðêîñòü > >, ãäå > >, ïðè÷åì âåêòîð îðòîãîíàëåí ãèïåðïëîñêîñòè Ï, òàê êàê > >, i,j=1,...,n.

×òî êàñàåòñÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèâåäåíèÿ > >, òî åãî åñòåñòâåííî îïðåäåëÿòü òàê, ÷òîáû âûõîäíûå ñèãíàëû äåòåêòîðîâ > > áûëè êîîðäèíàòàìè f>e> â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå > >. Â ýòîì áàçèñå êîíóñ > >. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ > > è, òåì áîëåå, äëÿ > >, > >4.

Ïóñòü Õ - ïîëå çðåíèÿ, íàïðèìåð, îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè R>2>, èëè íà ñåòêå > >, > > ñïåêòðàëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü j-ãî äåòåêòîðà èçëó÷åíèÿ, ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êå > > > >; > > - èçëó÷åíèå, ïîïàäàþùåå â òî÷êó > >. Èçîáðàæåíèåì íàçîâåì âåêòîðíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ > >

> > (2**)

Òî÷íåå, ïóñòü Õ - ïîëå çðåíèÿ, (Õ, Ñ, ) - èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî Õ ñ ìåðîé C - -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ X. Öâåòíîå (ñïåêòðîçîíàëüíîå) èçîáðàæåíèå > >îïðåäåëèì ðàâåíñòâîì

> > , (2)

â êîòîðîì ïî÷òè äëÿ âñåõ > >, > >, - -èçìåðèìûå ôóíêöèè íà ïîëå çðåíèÿ X, òàêèå, ÷òî

> >.

Öâåòíûå èçîáðàæåíèÿ îáðàçóþò ïîäêëàññ ôóíêöèé > > ëåáåãîâñêîãî êëàññà > > ôóíêöèé > >. Êëàññ öâåòíûõ èçîáðàæåíèé îáîçíà÷èì L>E>,>n>.

Âïðî÷åì, äëÿ óïðîùåíèÿ òåðìèíîëîãèè äàëåå ëþáîé ýëåìåíò > > íàçûâàåòñÿ öâåòíûì èçîáðàæåíèåì, à óñëîâèå

> > (2*)

óñëîâèåì ôèçè÷íîñòè èçîáðàæåíèé f().

Åñëè f - öâåòíîå èçîáðàæåíèå (2), òî > >, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, - ÷åðíî-áåëîå èçîáðàæåíèå [2], ò.å. > >, > >. Èçîáðàæåíèå > >, íàçîâåì ÷åðíî-áåëûì âàðèàíòîì öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f, à öâåòíîå èçîáðàæåíèå > >, f(x)¹0, xX - öâåòîì èçîáðàæåíèÿ f.  òî÷êàõ ìíîæåñòâà Â={xX: f(x)=0} ÷åðíîãî öâåòà (x), xÂ, - ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû èç > >, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ: ÿðêîñòü (x)=1. ×åðíî-áåëûì âàðèàíòîì öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f áóäåì òàêæå íàçûâàòü öâåòíîå èçîáðàæåíèå b(), èìåþùåå â êàæäîé òî÷êå Õ òó æå ÿðêîñòü, ÷òî è f, b(x)=f(x), xX, è áåëûé öâåò, (x)=b(x)/b(x)=, xX.

3. Форма цветного изображения.

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием > >, в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения > > в каждой точке > >при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке > >у вектора f(x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x) в терминах преобразования его цвета (). Для этого определим отображение A():> >, ставящее в соответствие каждому вектору цвета > >подмножество поля зрения > >в точках которого изображение > >, имеет постоянный цвет > >.

Пусть при рассматриваемом изменении освещения > >и, соответственно, > >; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет > > преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A(), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от . Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство > > влечет > >. Если > > - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A() и A() цвет изображения > > может оказаться одинаковым5.

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

Для определения понятия формы цветного изображения f() на > > удобно ввести частичный порядок  , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1)> >, 2) > >, > >, то > >, > >; отношение  должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, > >, если > >. Отношение  интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, > > означает, что изображения fиg сравнимы по форме, причем форма g не сложнее, чем форма f. Если > > и > >, то f и g назовем совпадающими по форме (изоморфными), f >~ >g. Например, если f и g - изображения одной и той же сцены, то g, грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f, если > >.

В рассматриваемом выше примере преобразования изображений > >если между множествами A(),> > и A(),> > существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция > >, такая, что A(())= A(),> >, причем> >, если > >. В этом случае равенства > > и > > эквивалентны, > > и > > изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

Если же > > не взаимно однозначно, то A()=U A() è > >. В этом случае равенство > > влечет > > (но не эквивалентно) > >, > > передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в > >.

Пусть, скажем, g - черно-белый вариант f, т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=, xX. Если преобразование > > - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, > >. Аналогично, если fgизображения одной и той же сцены, но в gвследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то > >. Пусть F - некоторая полугруппа преобразований > >, тогда для любого преобразования FF > >, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f, то они, тем более, не будут отражены в g.

Формой > > изображения f назовем множество изображений > >, форма которых не сложнее, чем форма f`, и их пределов в > >(черта символизирует замыкание в > >). Формой изображения fв широком смысле назовем минимальное линейное подпространство > >, содержащее > >. Если считать, что > > для любого изображения > >, то это будет означать, что отношение  непрерывно относительно сходимости в > > в том смысле, что > >.

Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде > > здесь > > - индикаторные функции непересекающихся подмножеств А>i>, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции > >, > >, j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны. Поскольку согласно лемме 2

> > > >> > , (3)

то цветное изображение f>e>, такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве A>i>, i=1,...,N. Для изображения > >, > > где > >, также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом A>i>, если > >, - непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркость > > постоянны на A>i>, i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения > >, если > > не зависит явно от > >. Для такого изображения примем следующее представление:

> >, (4)

его черно-белый вариант

> > (4*)

на каждом A>i> имеет постоянную яркость > >, и цвет изображения (4)

> > (4**)

не меняется на A>i> и равен > >, i=1,...,N.

Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), > >, то форму изображения (4), имеющего на различных множествах А>i >имеет несовпадающие яркости > > и различные цвета > >, определим как выпуклый замкнутый в > >конус:

> > > >. (4***)

v(a), очевидно, содержится в nN мерном линейном подпространстве

> > > >, (4****)

которое назовем формой a() в широком смысле.

Форму в широком смысле любого изображения a(), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах A>i >,i=1,...,N, определим как линейное подпространство > >, íàòÿíóòîå íå âåêòîð-ôóíêöèè Fa(),FF, где F - класс преобразований > >, îïðåäåëåííûõ êàê ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ a(x)Fa(x) во всех точках xX; здесь F - любое преобразование > >. Òîò ôàêò, ÷òî F îçíà÷àåò êàê ïðåîáðàçîâàíèå > >, òàê è ïðåîáðàçîâàíèå > >, íå äîëæåí âûçûâàòü íåäîðàçóìåíèÿ.

Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a() (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А>i>, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a()), если речь идет о форме в широком смысле.

Ëåììà 3. Ïóñòü {À>i>} - èçìåðèìîå ðàçáèåíèå X: > >.

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве A>i> :

постоянную яркость > > и цвет > > , если и только если выполняется равенство (4);

постоянный цвет > >, если и только если в (3) > >;

постоянную яркость f>i> , i=1,...,N, если и только если в (3) > > не зависит от > >, i=1,…...,N.

Доказательство . На множестве A>i> яркость и цвет изображения (3) равны соответственно6

> > , > >, i=1,.…..,N.

Если выполнено равенство (4), то > > и > > от > > не зависят. Наоборот, если > > и > >, то и > >, т.е. выполняется (4).

Если > > , то цвет > > не зависит от > > . Наоборот, пусть > > не зависит от > >. В силу линейной независимости > > координаты >(>>i)>(x) не зависят от > > , т.е. > > и, следовательно, > > где > > - яркость на A >i> и > >. Последнее утверждение очевидно 

Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств A>i> , i=1,...,N, поля зрения X.

Итак, пусть в согласии с леммой 3

> > , (5)

где, > > - индикаторная функция A>i>, > >, функция g>i> задает распределение яркости

> > (6)

в пределах A>i> при постоянном цвете

> >, i=1,...,N, (7)

причем для изображения (5) цвета >(i)>, i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g>(i)>, i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям > > i=1,.…..,N.

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки > >, позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на A>i> задается функцией > > а цвет на A>i> равен

> > (7*)

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

> > (8)

> >,

êàæäîå èç êîòîðûõ, êàê è èçîáðàæåíèå (5), èìååò ïîñòîÿííûé öâåò â ïðåäåëàõ êàæäîãî A>i>, i=1,...,N. Ôîðìà òàêèõ èçîáðàæåíèé íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà f() (5), ïîñêîëüêó â èçîáðàæåíèè > > íà íåêîòîðûõ ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâàõ A>i>, i=1,...,N, ìîãóò ñîâïàäàòü çíà÷åíèÿ öâåòà, êîòîðûå íåïðåìåíðíî ðàçëè÷íû â èçîáðàæåíèè f() (5). Ñîâïàäåíèå öâåòà > > íà ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâàõ A>i>, i=1,...,N âåäåò ê óïðîùåíèþ ôîðìû èçîáðàæåíèÿ > > ïî ñðàâíåíèþ ñ ôîðìîé f() (5). Âñå èçîáðàæåíèÿ > >, èìåþùèå ðàçëè÷íûé öâåò íà ðàçëè÷íûõ A>i>, i=1,...,N, ñ÷èòàþòñÿ èçîìîðôíûìè fè ìåæäó ñîáîé), ôîðìà îñòàëüíûõ íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà f. Åñëè > >, òî, î÷åâèäíî, > >.

Åñëè â (8) ÿðêîñòü > >, òî öâåò > > íà A>i> ñ÷èòàåòñÿ ïðîèçâîëüíûì (ïîñòîÿííûì), åñëè æå > > â òî÷êàõ íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà > >, òî öâåò > > íà A>i> ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì öâåòó > > íà > >, i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения > >, форма которых не сложнее, чем форма > >, должны иметь на A>i>, i=1,...,N, тот же цвет, что и у > > то следует потребовать, чтобы > >, в то время, как яркости > > îñòàþòñÿ ïðîèçâîëüíûìè (åñëè > >, òî öâåò > > íà A>i> îïðåäåëÿåòñÿ ðàâíûì öâåòó f íà A>i>, i=1,...,N).

Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения fв том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости > > при неизменном цвете (x) в каждой точке > >. Множество, содержащее все такие изображения

> > (9)

назовем формой в широком смысле изображения > >, у которого f(x)0, -почти для всех > >, [ср. 2]. > > является линейным подпространством > >, содержащем любую форму

> >, (10)

в которой включение > >определяет допустимые значения яркости. В частности, если > >означает, что яркость неотрицательна: > >, то > > - выпуклый замкнутый конус в > >, принадлежащий > >.

Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè öâåòíûõ èçîáðàæåíèé. Форма как оператор наилучшего приближения.

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷è ïðèáëèæåíèÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè (ìîçàè÷íûìè) èçîáðàæåíèÿìè. Ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ ïîçâîëèò ïîñòðîèòü ôîðìó èçîáðàæåíèÿ > > â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî > > äëÿ ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ > >, äåéñòâóþùåãî íà èçîáðàæåíèå > > êàê íà âåêòîð > > â êàæäîé òî÷êå > > è îñòàâëÿþùåãî > > ýëåìåíòîì > >, ò.å. èçîáðàæåíèåì. Ôîðìà â øèðîêîì ñìûñëå > > îïðåäåëÿåòñÿ êàê îïåðàòîð > > íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ > > èçîáðàæåíèÿìè > >

> >

ãäå > >- êëàññ ïðåîáðàçîâàíèé > >, òàêîé, ÷òî > >. Èíà÷å ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

> > (10*)

à > > - îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà > >, ôîðìà êîòîðûõ íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà > >. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì äëÿ > > ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî, åñëè f(x)=f(y), òî äëÿ ëþáîãî > >.

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения > > поля зрения X.

Задано разбиение > >, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ÿðêîñòü è öâåò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ íà êàæäîì > >. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ â > > öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f() (2) èçîáðàæåíèÿìè (4), â êîòîðûõ ñ÷èòàåòñÿ çàäàííûì ðàçáèåíèå > > ïîëÿ çðåíèÿ X è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü > > èç óñëîâèÿ

> >

> > (11)

Òåîðåìà 1. Ïóñòü > >. Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (11) èìååò âèä

> >, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

è èñêîìîå èçîáðàæåíèå (4) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì

> > . (13)

Îïåðàòîð > > ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ïðîåêòîðîì íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî (4****) > > èçîáðàæåíèé (4), ÿðêîñòè è öâåòа êîòîðûõ íå èçìåíÿþòñÿ â ïðåäåëàõ êàæäîãî A>i> , i=1,...,N.

×åðíî-áåëûé âàðèàíò > > (4*) öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ > >(4) ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â > > àïïðîêñèìàöèåé ÷åðíî-áåëîãî âàðèàíòà > > öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f, åñëè öâåòíîå èçîáðàæåíèå > >(4) ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â > > àïïðîêñèìàöèåé öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f. Оператор > >, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого > >.

 òî÷êàõ ìíîæåñòâà > > öâåò > >(4**) íàèëó÷øåé àïïðîêñèìàöèè > >(4) öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f (2) ÿâëÿåòñÿ öâåòîì àääèòèâíîé ñìåñè ñîñòàâëÿþùèõ f èçëó÷åíèé, êîòîðûå ïîïàäàþò íà > >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàâåíñòâà (12) - óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (11), Ï - îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð, ïîñêîëüêó â çàäà÷å (11) íàèëó÷øàÿ àïïðîêñèìàöèÿ - îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ f íà > >. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà

> >, âûòåêàþùåãî èç (13). Последнеå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ

> >> >,i=1,...,N âûòåêàþùèõ èç (12) è ðàâåíñòâà (1), â êîòîðîì èíäåêñ k ñëåäóåò çàìåíèòü íà xX.

Çàìå÷àíèå 1. Äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ðàçáèåíèÿ > > îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòîðû > > è > > îïðåäåëÿþò ñîîòâåòñòâåííî ôîðìó â øèðîêîì ñìûñëå öâåòíîãî èçîáðàæåíèя (4), öâåò è ÿðêîñòü êîòîðîãî, ïîñòîÿííûå â ïðåäåëàõ êàæäîãî > >, ðàçëè÷íû äëÿ ðàçëè÷íûõ > >, èáî > >, è ôîðìó â øèðîêîì ñìûñëå ÷åðíî-áåëого èçîáðàæåíèя, ÿðêîñòü êîòîðого ïîñòîÿííà íà êàæäîì > > è ðàçëè÷íà äëÿ ðàçíûõ > >,[2].

Åñëè ó÷åñòü, óñëîâèå ôèçè÷íîñòè (2*), òî ôîðìîé öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ ñëåäóåò ñ÷èòàòü ïðîåêòîð > >> >íà âûïóêëûé замкнутый êîíóñ > > (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор > > на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что > > [2]. Дело в том, что оператор > > определяет форму > > изображения (4), а именно

> > - множество собственных функций оператора > >. Поскольку > >f() - наилучшее приближение изображения > > изображениями из > >, для любого изображения > > из > > и только для таких > >- > >. Поэтому проектор > > можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a()

> >,7 [2]. И проектор > > можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами > > è > >, êîòîðàÿ èçâåñòíà êàê òðàíçèòèâíîñòü ïðîåöèðîâàíèÿ. Èìåííî, åñëè > > îïåðàòîð íàèëó÷øåãî â > > ïðèáëèæåíèÿ çëåìåíòàìè âûïóêëîãî çàìêíóòîãî (â > > è â > >) êîíóñà > >, òî > >. Èíà÷å ãîâîðÿ, äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàèëó÷øåãî â > > ïðèáëèæåíèÿ > > ýëåìåíòàìè > > ìîæíî âíà÷àëå íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ > > èçîáðàæåíèÿ > > íà > >, à çàòåì > > ñïðîåöèðîâàòü â > > íà > >. Ïðè ýòîì êîíå÷íîìåðíûé ïðîåêòîð > > äëÿ êàæäîãî êîíêðåòíîãî êîíóñà > > ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, à äëÿ ìíîãèõ çàäà÷ ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà èçîáðàæåíèé äîñòàòî÷íûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ëèøü ïðîåêòîðà Ï .

Форма в широком смысле > > (4***) èçîáðàæåíèÿ (4) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ èçìåðèìûì ðàçëîæåíèåì > >, ïîñëåäíåå, â ñâîþ î÷åðåäü îïðåäåëÿåòñÿ èçîáðàæåíèåì

> >,

åñëè âåêòîðû > > ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Åñëè ïðè ýòîì > >, òî ôîðìà â øèðîêîì ñìûñëå > > ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà è êàê îïåðàòîð Ï îðòîãîíàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ íà > >, îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì (13).

Ïîñìîòðèì, êàêèì îáðàçîì âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè ôàêòàìè ïðè ïîñòðîåíèè ôîðìû â øèðîêîì ñìûñëå êàê îïåðàòîðà îðòîãîíàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî > > (10*) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èçîáðàæåíèÿ > >. Ïóñòü > > - ìíîæåñòâî çíà÷åíèé > > è > > - èçìåðèìîå ðàçáèåíèå X , ïîðîæäåííîå > >, â êîòîðîì > > - ïîäìíîæåñòâî X , â ïðåäåëàõ êîòîðîãî èçîáðàæåíèå > > èìååò ïîñòîÿííûå ÿðêîñòü è öâåò, îïðåäåëÿåìûå âåêòîðîì > >, åñëè > >.

Îäíàêî äëÿ íàéäåííîãî ðàçáèåíèÿ óñëîâèå > >, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâûïîëíèìî è, ñëåäîâàòåëüíî, òåîðåìà 1 íå ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð Ï íà > >. Ïîêàæåì, ÷òî Ï ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíå÷íîìåðíûõ îðòîãîíàëüíûõ ïðîåêòîðîâ. Çàìåòèì âíà÷àëå, ÷òî ëþáîå èçîáðàæåíèå > > ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðåäåëà (â > >) äîëæíûì îáðàçîì îðãàíèçîâàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîçàè÷íûõ èçîáðàæåíèé

> > (*)

ãäå > > - èíäèêàòîð ìíîæåñòâà > >, ïðèíàäëåæàùåãî èçìåðèìîìó ðàçáèåíèþ > >

 (*) ìîæíî, íàïðèìåð, èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìóþ èñ÷åðïûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé [], óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì

- > >- C - èçìåðèìî, > >;

- N+1-oe ðàçáèåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì N-ãî, ò.å. äëÿ ëþáîãî > >, íàéäåòñÿ i=i(j),> >, òàêîå, ÷òî > >;

- ìèíèìàëüíàÿ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ âñå > >, ñîâïàäàåò ñ C.

Ëåììà (*). Ïóñòü > > - èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü ðàçáèåíèé X è > >- òî ìíîæåñòâî èç > >, êîòîðîå ñîäåðæèò > >. Òîãäà äëÿ ëþáîé C-èçìåðèìîé ôóíêöèè > >

> >

è -ïî÷òè äëÿ âñåõ > > > > [ ]. 

Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ðåçóëüòàòîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìû â øèðîêîì ñìûñëå Ï ïðîèçâîëüíîãî èçîáðàæåíèÿ > >. Ïóñòü > > - ìèíèìàëüíàÿ -àëãåáðà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé èçìåðèìî > >, ò.å. ïóñòü > >, ãäå > > - ïðîîáðàç áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà > >, B - -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ > >. Çàìåíèì â óñëîâèÿõ, îïðåäåëÿþùèõ èñ÷åðïûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé, C íà > > è âûáåðåì ýòó, çàâèñÿùóþ îò > >, èñ÷åðïûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (> > - èçìåðèìûõ) ðàçáèåíèé â ëåììå (*).

Òåîðåìà (*). Ïóñòü > >, > >- èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé X, ïðè÷åì > >- ìèíèìàëüíàÿ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ âñå > > è Ï(N) - îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð > >, îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì > >, > >

Òîãäà

1) äëÿ ëþáîãî > >-èçìåðèìîãî èçîáðàæåíèÿ > > è ïî÷òè äëÿ âñåõ > >, > >,

2) äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ > > ïðè > > > > > >), ãäå Ï - îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð íà > >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ëåììû (*) è îïðåäåëåíèÿ > >. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ çàìåòèì, ÷òî, òàê êàê A(N+1) - ïðîäîëæåíèå ðàçáèåíèÿ A(N), N=1,2,..., òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîåêòîðîâ Ï(N), N=1,2,..., ìîíîòîííî íåóáûâàåò: > > è ïîòîìó ñõîäèòñÿ (ïîòî÷å÷íî) ê íåêîòîðîìó îðòîãîíàëüíîìó ïðîåêòîðó Ï. Òàê êàê > > - ìíîæåñòâî âñåõ > >-èçìåðèìûõ èçîáðàæåíèé è èõ ïðåäåëîâ (â > >), à â ñèëó ëåììû (*) äëÿ ëþáîãî > >-èçìåðèìîãî èçîáðàæåíèÿ > >

> >, òî äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ > > > >è äëÿ ëþáîãî > > > >, èáî > >-èçìåðèìî, N=1,2,... 

Âîïðîñ î òîì, êàêèì îáðàçîì ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé, îáñóæäàåòñÿ â ñëåäóþùåì ïóíêòå.

Çàäàíû âåêòîðû f>1>,...,f>q>, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ðàçáèåíèå > >, íà ìíîæåñòâàõ êîòîðîãî íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ïðèíèìàåò ñîîòâåòñòâåííî çíà÷åííèÿ f>1>,...,f>q. >Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f, â êîòîðîé çàäàíî íå ðàçáèåíèå > > ïîëÿ çðåíèÿ X, à âåêòîðû > > â > >, è òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü èçìåðèìîå ðàçáèåíèå > >ïîëÿ çðåíèÿ, òàêîå, ÷òî öâåòíîå èçîáðàæåíèå > > - íàèëó÷øàÿ â > > àïïðîêñèìàöèÿ f. Òàê êàê

> >, (14*)

òî â A>i> ñëåäóåò îòíåñòè ëèøü òå òî÷êè > >, äëÿ êîòîðûõ > >, =1,2,...,q, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, > > =1,2,...,q. Òå òî÷êè, êîòîðûå ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó ìîãóò áûòü îòíåñåíû ê íåñêîëüêèì ìíîæåñòâàì, äîëæíû áûòü îòíåñåíû ê îäíîìó èç íèõ ïî ïðîèçâîëó. Ó÷èòûâàÿ ýòî, óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî çàïèñü

> > > > , (14)

îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâà (14) íå ïåðåñåêàþòñÿ è > >.

×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ýòîò ðåçóëüòàò â òåðìèíàõ ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà, ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå > >, â êîòîðîì

> > (15)

è çâåçäî÷êà óêàçûâàåò íà äîãîâîðåííîñòü, ïðèíÿòóþ â (14). Îïðåäåëèì îïåðàòîð F, äåéñòâóþùèé èç > > â > > ïî ôîðìóëå > >, > >, i=1,...,q. Î÷åâèäíî, F âñåãäà ìîæíî ñîãëàñîâàòü ñ (14) òàê, ÷òîáû âêëþ÷åíèÿ > > è > >, i=1,...,q, ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü ýêâèâàëåíòíûìè. 8

Òåîðåìà 2. Ïóñòü > > - çàäàííûå âåêòîðû R>n>. Ðåøåíèå çàäà÷è

> >

íàèëó÷øåãî â > > ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ f èçîáðàæåíèÿìè > > èìååò âèä > >, ãäå > > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà > >. Ìíîæåñòâî > > îïðåäåëåíî ðàâåíñòâîì (15). Íåëèíåéíûé îïåðàòîð > >, êàê âñÿêèé îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ F2=F, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïðåêòîðîì.

Çàìå÷àíèå 2. Åñëè äàííûå çàäà÷è äîñòóïíû ëèøü â ÷åðíî-áåëîì âàðèàíòå, òî åñòü çàäàíû ÷èñëà > >, i=1,...,q, êîòîðûå ìîæíî ñ÷èòàòü óïîðÿäî÷åííûìè ñîãëàñíî óñëîâèþ > >, òî, êàê ïîêàçàíî â [3], èñêîìîå ðàçáèåíèå X ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ

> >

ãäå > >, è èìååò ìàëî îáùåãî ñ ðàçáèåíèåì (14).

Çàìå÷àíèå 3. Âûáåðåì âåêòîðû f>i>,> >i=1,..,q> >åäèíè÷íîé äëèíû: > >, i=1,...,q. Òîãäà

> >. (16)

Ìíîæåñòâà (16) ÿâëÿþòñÿ êîíóñàìè â R>n >, îãðàíè÷åííûìè ãèïåðïëîñêîñòÿìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèáëèæåíèå > > èçîáðàæåíèÿ f èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîñëåäíåãî, íå èçìåíÿþùåãî åãî öâåò (íàïðèìåð > >), â ÷àñòíîñòè, îòíîñèòåëüíî îáðàçîâàíèÿ òåíåé íà f.

Çàìå÷àíèå 4. Äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî íàáîðà ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ âåêòîðîâ > > îïåðàòîð F, ïðèâåäåííûé â òåîðåìå 2, îïðåäåëÿåò ôîðìó èçîáðàæåíèÿ, ïðèíèìàþùåãî çíà÷åíèÿ > > ñîîòâåòñòâåííî íà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâàõ > > (ëþáîãî) ðàçáèåíèÿ X. Âñÿêîå òàêîå èçîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé (â > >) òî÷êîé F: > >, åñëè > >, âñå îíè èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé. Åñëè íåêîòîðûå ìíîæåñòâà èç > > - ïóñòûå, èëè íóëåâîé ìåðû, ñîîòâåòñòâóþùèå èçîáðàæåíèÿ èìåþò áîëåå ïðîñòóþ ôîðìó.

Èíà÷å ãîâîðÿ, â äàííîì ñëó÷àå ôîðìîé èçîáðàæåíèÿ > > ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ èçîáðàæåíèé, ïðèíèìàþùèõ çàäàííûå çíà÷åíèÿ > > íà ìíîæåñòâàõ ïîëîæèòåëüíîé ìåðû > > ëþáîãî ðàçáèåíèÿ X, è èõ ïðåäåëîâ â > >.

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f() изображениями > >, в котором требуется определить как векторы > >, так и множества > > так, чтобы

> >.

Следствие 1.

Пусть D>i> ,i=1,...,N, - подмножества R>n> (15), П - ортогональный проектор (13), > >, где > >. Тогда необходимые и достаточные условия > > суть следующие: > >, где > >, > >.

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть > > - èñõîäíûå âåêòîðû â çàäà÷å (14*), > > - ñîîòâåòñòâóþùåå îïòèìàëüíîå ðàçáèåíèå (14), F(1)- îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ è > > - íåâÿçêà. Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 1, îïðåäåëèì äëÿ íàéäåííîãî ðàçáèåíèÿ > > îïòèìàëüíûå âåêòîðû > >. Ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (13) > >, è ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ Ï(1) (13) îáåñïå÷èò íå ìåíåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå f(), ÷åì F(1): > >. Âûáåðåì òåïåðü â òåîðåìå 2 > >, îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùåå îïòèìàëüíîå ðàçáèåíèå > > è ïîñòðîèì îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ F(2). Òîãäà > >. Íà ñëåäóþùåì øàãå ïî ðàçáèåíèþ > > ñòðîèì > > è îïåðàòîð Ï(3) è ò.ä.

 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïóíêòà âåðíåìñÿ ê âîïðîñó î ïîñòðîåíèè èñ÷åðïûâàþùåãî > >-èçìåðèìîãî ðàçáèåíèÿ X, îòâå÷àþùåãî çàäàííîé ôóíêöèè > >. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî ïîïàðíî ðàçëè÷íûå âåêòîðû > >èç f(X) è ïîñòðîèì ïî ôîðìóëå (15) ðàçáèåíèå R>n> > >. Äëÿ êàæäîãî q=1,2,... îáðàçóåì ðàçáèåíèå E(N(q)), ìíîæåñòâà > >, j=1,...,N(q), êîòîðîãî îáðàçîâàíû âñåìè ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ïåðåñå÷åíèÿìè > > ìíîæåñòâ èç > >. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçáèåíèé X > >, i=1,...,N(q), q=1,2... > > -èçìåðèìû è > > ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì > >

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения > > поля зрения X.

Çàäàíî ðàçáèåíèå > >, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü öâåò è ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòåé íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ íà êàæäîì A>i>,i=1,...,N.

Äëÿ ïðàêòèêè, êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò êëàññ èçîáðàæåíèé (5), öâåò êîòîðûõ íå èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ íåêîòîðûõ ïîäìíîæåñòâ ïîëÿ çðåíèÿ, è çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîëüíûõ èçîáðàæåíèé èçîáðàæåíèÿìè òàêîãî êëàññà.

Çàïèøåì èçîáðàæåíèå (5) â âèäå

> > (17)

ãäå > >.

Ïóñòü A>1>,...,A>N> - çàäàííîå ðàçáèåíèå X, > > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ A>i>, i=1,...,N. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèëó÷øåãî â > > ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ > > èçîáðàæåíèÿìè (17), íå òðåáóÿ, ÷òîáû > >

> > (18)

Ðå÷ü èäåò î çàäà÷å àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîëüíîãî èçîáðàæåíèÿ > > èçîáðàæåíèÿìè, ó êîòîðûõ ÿðêîñòü ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé èç > >, â òî âðåìÿ, êàê öâåò äîëæåí ñîõðàíÿòü ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà êàæäîì èç çàäàííûõ ïîäìíîæåñòâ A>1>,...,A>N >> >ïîëÿ çðåíèÿ X, (ñì. Ëåììó 3).

Òàê êàê

> >

òî ìèíèìóì S (19) ïî > > äîñòèãàåòñÿ ïðè

> >, (20)

è ðàâåí

> > (21)

Çàäà÷à (18) òåì ñàìûì ñâåäåíà ê çàäà÷å

> >. (22)

 ñâÿçè ñ ïîñëåäíåé ðàññìîòðèì ñàìîñîïðÿæåííûé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð > >

> > . (23)

Ìàêñèìóì (íåîòðèöàòåëüíîé) êâàäðàòè÷íîé ôîðìû > > íà ñôåðå > >â R>n>, êàê èçâåñòíî, (ñì.,íàïðèìåð, [11]) äîñòèãàåòñÿ íà ñîáñòâåííîì âåêòîðå y>i> îïåðàòîðà Ô>i>,> >îòâå÷àþùåì ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ > >>0,

> >,

è ðàâåí > >, ò.å. > >. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìóì â (22) ðàâåí > > è äîñòèãàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè > >

Òåîðåìà 3. Ïóñòü A>1>,...,A>N> -çàäàííîå èçìåðèìîå ðàçáèåíèå X, ïðè÷åì9 (A>i>)>0, i=1,...,N. Ðåøåíèåì çàäà÷è (18) íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ > >> > èçîáðàæåíèÿìè g()> > (17) ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèå

> > (24)

Îïåðàòîðû > >,i=1,...,N, è > > - íåëèíåéíûå (çàâèñÿùèå îò f()> >) ïðîåêòîðû: Ï>i> ïðîåöèðóåò â R>n> âåêòîðû > >> > íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî > >, íàòÿíóòîå íà ñîáñòâåííûé âåêòîð > > îïåðàòîðà Ô>i >(23), îòâå÷àþùèé íàèáîëüøåìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ >i>,

> >; (25)

Ï ïðîåöèðóåò â > > èçîáðàæåíèå > >> > íà ìèíèìàëüíîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî > >, ñîäåðæàùåå âñå èçîáðàæåíèÿ > >

Íåâÿçêà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ

> > (19*).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàâåíòñòâî (24) è âûðàæåíèå äëÿ Ï>i> ñëåäóåò èç (17),(20) è ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ô>i >(23). Ïîñêîëüêó Ô>i >ñàìîñîïðÿæåííûé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð, òî çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (23) ðàçðåøèìà, âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Ô>i > íåîòðèöàòåëüíû è ñðåäè íèõ >i >- наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Ï>i>, i=1,...,N, è Ï ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ, óêàçûâàþùèå íà çàâèñèìîñòü îò f():

> >

> > (26*)

Ýòè ðàâåíñòâà, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî ðåçóëüòàò äâóêðàòíîãî äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ Ï>i>, i=1,...,N, è Ï (26) íå îòëè÷àåòñÿ îò ðåçóëüòàòàòà îäíîêðàòíîãî èõ äåéñòâèÿ, ïîçâîëÿò ñ÷èòàòü îïåðàòîðû (26) ïðîåêòîðàìè.

Ïóñòü f>i> - cñîáñòâåííûé âåêòîð Ô>i> , îòâå÷àþùèé ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ >i>. Чтобы определить > > ñëåäóåò ðåøèòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ îïåðàòîðà > >:

> >.

Ïîñêîëüêó rank> >=1, > > èìååò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, êîòîðîå, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ðàâíî >i>, è åìó ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð f>i>. Ïîýòîìó

> >.

Îòñþäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò ðàâåíñòâî (26*) äëÿ > > 

Ëåììà 4. Äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ > > ðåøåíèå (24) çàäà÷è (18) íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ åäèíñòâåííî è ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì > >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åäèíñòâåííûé (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ) ñîáñòâåííûé âåêòîð f>i> îïåðàòîðà (23), îòâå÷àþùèé ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ >i>, можно выбрать так, чтобы > >, ïîñêîëüêó â òàêîì ñëó÷àå áóäóò âûïîëíåíû èìïëèêàöèè:

> >,

ñîñòàâëÿþùèå ñîäåðæàíèå ëåììû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè > > òî ñîãëàñíî (23) > >, ïîñêîëüêó âêëþ÷åíèå > > îçíà÷àåò, ÷òî> >; îòñþäà è èç (25) ïîëó÷èì, ÷òî > >,i=1,...,N, à ïîýòîìó è â (24) > >.

Óáåäèìñÿ â íåîòðèöàòåëüíîñòè > >.  îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå e>1>,...,e>n>, â êîòîðîì > >, âûõîäíîé ñèãíàë i-ãî äåòåêòîðà â òî÷êå > > (ñì. çàìå÷àíèå 1) çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (23*) èìååò âèä > >, p=1,...,n,

ãäå > >, > >.

Òàê êàê ìàòðèöà > > ñèììåòðè÷åñêàÿ è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ (> >) îíà èìååò n íåîòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé> >, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò n îðòîíîðìèðîâàííûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ > >, à ïîñêîëüêó ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû > >, òî ñîãëàñíî òåîðåìå Ôðîáåíóñà-Ïåððîíà ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå > > - àëãåáðàè÷åñêè ïðîñòîå (íåêðàòíîå), à ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìîæíî âûáèðàòü íåîòðèöàòåëüíûì:

> >. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð f>i> îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ > >, > >. 

Çàìå÷àíèå 4.

Åñëè > > , ò.å. åñëè àïïðîêñèìèðóåìîå èçîáðàæåíèå íà ìíîæåñòâàõ òîãî æå ðàçáèåíèÿ > >èìååò ïîñòîÿííûé öâåò, òî â òåîðåìå 3 > >, > >.

Наоборот, если > >, то

> >, т.е. > > определяется выражением (17), в котором > >.

Итак, пусть в изображении g() (17) все векторы f>1>,.…..,f>N> попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A>1>,...,A>N>> >попарно различны. Тогда форма в широком смысле > > изображения (17) есть множество решений уравнения

> >,> >, (27)

где > >, f>i> - собственный вектор оператора Ф>i>: > >, отвечающий максимальному собственному значению >i>, i=1,...,N . В данном случае > >, если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения > > , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения > > (17).

Çàäàíû âåêòîðû öâåòà >1>,..., >q>, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ðàçáèåíèå A>1>,..., A>q>, íà ìíîæåñòâàõ êîòîðîãî íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå èìååò ñîîòâåòñòâåííî öâåòà >1>,..., >q> è îïòèìàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòåé > >10.

Речь идет о следующей задаче наилучшего в > > ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ > >

> >. (28)

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷ó (28) íå òðåáóÿ, ÷òîáû > >. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî > >

> >, (29)

è äîñòèãàåòñÿ íà

> >, (30)

òî, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ,

> >, (31)

ãäå çâåçäî÷êà * îçíà÷àåò òî æå ñàìîå, ÷òî è â ðàâåíñòâå (14): òî÷êè xX, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî > > ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíî îòíåñåíû ê îäíîìó èç ìíîæåñòâ A>i> èëè A>j>.

Ïóñòü > > - ðàçáèåíèå > >, â êîòîðîì

> > (32)

à F: R>n> R>n >îïåðàòîð, îïðåäåëåííûé óñëîâèåì

> > (33)

Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (28) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

> >, (34)

ãäå > > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà A>i> (31), i=1,...,q è F -îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â > > ïî ôîðìóëå (34) (ñì. ñíîñêó 4 íà ñòð. 13).

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî çàäà÷à íà ìèíèìóì (29) ñ óñëîâèåì ôèçè÷íîñòè > >

> > (35)

èìååò ðåøåíèå

> > (36)

Ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèå çàäà÷è (28) ñ óñëîâèåì ôèçè÷íîñòè èìååò âèä

> >, (37)

ãäå > > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà

> >, (38)

 ðÿäå ñëó÷àåâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ (34) ïîëåçíî îïðåäåëèòü îïåðàòîð F+: R>n> R>n>, äåéñòâóþùèé ñîãëàñíî ôîðìóëå

> > (39)

ãäå

> >, òàê ÷òî > >,i=1,...q. (40)

Ïîäûòîæèì ñêàçàííîå.

Òåîðåìà 4. Ðåøåíèå çàäà÷è (28) íàèëó÷øåãî â > >ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ > > èçîáðàæåíèÿìè íà èñêîìûõ ìíîæåñòâàõ A>1>,...,A>q> ðàçáèåíèÿ X çàäàííûå öâåòàìè >1>,..., >q> ñîîòâåòñòâåííî, äàåòñÿ ðàâåíñòâîì (34), èñêîìîå ðàçáèåíèå A>1>,...,A>q >îïðåäåëåíî â (31). Òðåáîâàíèå ôèçè÷íîñòè íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ (37) è îïðåäåëÿåò èñêîìîå ðàçáèåíèå ôîðìóëàìè (38). Ðåøåíèå (34) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëþáîãî, à (37) - îòíîñèòåëüíî ëþáîãî, ñîõðàíÿþùåãî ôèçè÷íîñòü, ïðåîáðàçîâàíèÿ, íåèçìåíÿþùåãî åãî öâåò.

Ôîðìîé â øèðîêîì ñìûñëå èçîáðàæåíèÿ, èìåþùåãî çàäàííûé íàáîð öâåòîâ >1>,..., >q >íà íåêîòîðûõ ìíîæåñòâàõ ïîëîæèòåëüíîé ìåðû A>1>,...,A>q> ðàçáèåíèå ïîëÿ çðåíèÿ ìîæíî íàçâàòü îïåðàòîð > > (34), ôîðìîé òàêîãî èçîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð F+ (37). Âñÿêîå òàêîå èçîáðàæåíèå g(), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì ôèçè÷íîñòè (íåîòðèöàòåëüíîñòè ÿðêîñòåé), óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ F+g()=g(), òå èç íèõ, ó êîòîðûõ (A>i>)>0, i=1,...,q, èçîìîðôíû, îñòàëüíûå èìåþò áîëåå ïðîñòóþ ôîðìó.

 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà âåðíåìñÿ ê ïîíÿòèþ ôîðìû èçîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì ôèçè÷íîñòè, ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿðêîñòè. Ðå÷ü èäåò î ôîðìå èçîáðàæåíèÿ > >, çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèåì öâåòà > >, ïðè ïðîèçâîëüíîì (ôèçè÷íîì) ðàñïðåäåëåíèè ÿðêîñòè, íàïðèìåð, > >. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôîðìû > > ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèëó÷øåãî â > > ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ > > òàêèìè èçîáðàæåíèÿìè

> >, (41)

Òåîðåìà 5. Ðåøåíèå > > çàäà÷è (41) äàåòñÿ ðàâåíñòâîì

> >, (42)

â êîòîðîì > >, ãäå > > . Íåâÿçêà ïðèáëèæåíèÿ

> >, (43)

( > > !) 

Îïðåäåëåíèå. Ôîðìîé èçîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèåì öâåòà > >, íàçîâåì âûïóêëûé, çàìêíóòûé êîíóñ èçîáðàæåíèé

> >

èëè - ïðîåêòîð > > íà > >.

Âñÿêîå èçîáðàæåíèå g(), ðàñïðåäåëåíèå öâåòà êîòîðîãî åñòü () è òîëüêî òàêîå èçîáðàæåíèå ñîäåðæèòñÿ â > > è ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïåðàòîðà

> >: > >g() = g(). (#)

Ïîñêîëüêó íà ñàìîì äåëå äåòàëè ñöåíû, ïåðåäàâàåìûå ðàñïðåäåëåíèåì öâåòà (), íå ïðåäñòàâëåíû íà èçîáðàæåíèè f() = f()() â òîé îáëàñòè ïîëÿ çðåíèÿ, â êîòîðîé ÿðêîñòü f(x)=0, xX, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî > > - ôîðìà ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ f(x) = f(x)(x), f(x)>0, xX(mod), âñå òàêèå èçîáðàæåíèÿ èçîìîðôíû, à ôîðìà âñÿêîãî èçîáðàæåíèÿ g(), óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíåíèþ (#), íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà f().

Çàìå÷àíèå 5. Ïóñòü >1>,..., >N>> > - èñõîäíûé íàáîð öâåòîâ, > >, A>1>,...,A>N> - ñîîòâåòñòâóþùåå îïòèìàëüíîå ðàçáèåíèå X, íàéäåííîå â òåîðåèå 4 è

> >, (34*)

- íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå f(). Òîãäà â ðàâåíñòâå (24)

> >, (24*)

åñëè A>1>,...,A>N >- èñõîäíîå ðàçáèåíèå X â òåîðåìå 3. Íàîáîðîò, åñëè A>1>,...,A>N >- çàäàííîå â òåîðåìå 3 ðàçáèåíèå X è f>1>,...,f>N >- ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðîâ Ô>1>,...,Ô>N> (23) ñîîòâåòñòâåííî, îòâå÷àþùèå ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, òî f>1>,...,f>N> > > è áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (24), åñëè â (34*) îïðåäåëèòü >i> êàê öâåò f>i> â (24), i=1,...,N.

Ïðîâåðêà ýòîãî çàìå÷àíèÿ íå ïðåäñòàâëÿåò çàòðóäíåíèé.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A>i>, i=1,...,N.

Ðàçóìååòñÿ, óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà öâåòà íà ìíîæåñòâàõ A>i>, i=1,...,N, íà ïðàêòèêå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü ñ îïðåäåëåííîé òî÷íîñòüþ. Ïîñëåäíþþ ìîæíî ïîâûñèòü êàê ïóòåì ïåðåõîäà ê áîëåå ìåëêîìó ðàçáèåíèþ > >, òàê è äîïóñтив íåêîòîðûå èçìåíåíèÿ öâåòà â ïðåäåëàõ êàæäîãî A>i>, i=1,...,N, íàïðèìåð, âûáðàâ âìåñòî (17) êëàññ èçîáðàæåíèé

> > (17*)

â êîòîðîì > > â (3).

Ïîñêîëüêó â çàäà÷å íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ f() èçîáðàæåíèÿìè ýòîãî êëàññà ïðåäñòîèò íàéòè > > , âåêòîðû > > ïðè ëþáîì i=1,...,N, ìîæíî ñ÷èòàòü îðòîãîíàëüíûìè, îïðåäåëèâ

> >, (*)

èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà íåâÿçêè ïî > >. Ïîñëå ýòîãî äëÿ êàæäîãî i=1,...,N âåêòîðû > > äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû èç óñëîâèÿ

> > (**)

ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè îðòîãîíàëüíîñòè

> >. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è äàåòñÿ â ñëåäóþùåé ëåììå

Ëåììà 5. Ïóñòü > > îðòîãîíàëüíûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà Ô>i >(23), óïîðÿäî÷åííûå ïî óáûâàíèþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:

> >.

Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (**) äàåòñÿ ðàâåíñòâàìè > >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó Ô>i> - ñàìîñîïðÿæåííûé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð, åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû, à åãî ñîáñòâåííûå âåêòîðû âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè îáðàçîâàëè îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â R>n>. Ïóñòü P>i> - îðòîãîíàëüíî ïðîåöèðóåò â R>n> íà ëèíåéíóþ îáîëî÷êó > > ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ > > è

[P>i> Ô>i> P>i>] - ñóæåíèå îïåðàòîðà P>i> Ô>i> P>i >íà > >. Òîãäà ëåâàÿ ÷àñòü (*) ðàâíà ñëåäó оператора [P>i> Ô>i> P>i>]

> >, ãäå > > - j-îå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà > > (ñì., íàïðèìåð, [10]). Ïóñòü > >. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå Ïóàíêàðå, [10], > >, îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäàåìîå â ëåììå. ■

Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèÿìè (*) è ëåììîé 5, íàéäåì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå òåîðåìå 3.

Òåîðåìà 3*. Íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ f() èçîáðàæåíèÿìè (17*) èìååò âèä

> >,

Ãäå > >: îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð íà ëèíåéíóþ îáîëî÷êó > >, ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ çàäà÷è

> >.

Íåâÿçêà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ðàâíà

> >. 

Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ f èçîáðàæåíèÿìè (17), â êîòîðûõ çàäàíû è ôèêñèðîâàíû âåêòîðû > >, è íàäëåæèò îïðåäåëèòü èçìåðèìîå ðàçáèåíèå > > è ôóíêöèè > >, êàê ðåøåíèå çàäà÷è

> > (30)

Ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè > >ìèíèìóì â (30) ïî > > äîñòèãàåòñÿ ïðè > >, îïðåäåëÿåìûõ ðàâåíñòâîì (20).  ñâîþ î÷åðåäü, î÷åâèäíî, ÷òî

> > (31)

ãäå òî÷êè > >, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî > > ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíî âêëþ÷åíû â îäíî èç ìíîæåñòâ : ëèáî â > >, ëèáî â > >. Ýòî ñîãëàøåíèå îòìå÷åíî çâåçäî÷êîé â (31).

Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíà

Òåîðåìà 6. Ïóñòü > > çàäàííûå âåêòîðû R>n>. Ðåøåíèåì çàäà÷è (30) ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèå

> >,

ãäå îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð > > îïðåäåëåí ðàâåíñòâîì (25), à > > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà (31), i=1,...,N. Íåâÿçêà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ðàâíà

> >. 

Çàìå÷àíèå 5. Òàê êàê ïðè > >

> >,

òî óñëîâèÿ (31), îïðåäåëÿþùèå ðàçáèåíèå > >, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

> >, (32)

ïîêàçûâàþùåì, ÷òî ìíîæåñòâî > > â (32) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èçîáðàæåíèÿ > >, íå èçìåíÿþùåãî åãî öâåò.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f() изображениями (17), при котором должны быть найдены > > и >i>0 , i=1,...,N, такие, что

> >.

Теорема 7. Для заданного изображения f() определим множества > > равенствами (32), оператор П - равенством (24), > > - равенствами (25). Тогда > >,

определено равенством (32), в котором > > - собственный вектор оператора Ф>i> (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) > >, наконец, > > будет дано равенством (20), в котором > >, где > > - собственный вектор оператора > >, отвечающий наибольшему собственному значению > >; наконец,

> >. 

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании > >: Для изображения f() зададим > > и по теореме 5 найдем > > и > >, затем по теореме 3, используя > > найдем > > и > >. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по > > найдем > > и > > и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений > > очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность > >, k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности > >.

Формы > > (10) и > > (9) удобно задавать операторами П>f> и П>*>>f> соответственно.

Теорема 7. Форма > > в широком смысле изображения > >определяется ортогональным проектором П>*>>f> :

> > ,

при этом > > и > >.

Доказательство. Так как для > > > >, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум > >, решение которой определяется условиями (см., например, [11]) > >. Отсюда следует, что > > и тем самым доказано и второе утверждение 

Замечание. Так как > >, где f>i>(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке > >, причем f>i>(x)0 ,i=1,...,n, и, следовательно цвет > > реальных изображений непременно имеет неотрицательные > >, то для реальных изображений > >, условия > > и > >, эквивалентны. Если же для некоторого > >, то условие > > не влечет > >. Заметим также, что для изображений g(), удовлетворяющих условию > >, всегда > >.

Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением

> > (40)

В котором

> >. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f() , в которых f>1>() - любая неотрицательная функция из > >, >1>() - фиксированное векторное поле цвета, f>2>() - термояркость, >2>() - термоцвет в точке > >. Форма П>*>>f> видимой компоненты f() (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

> >, в данном случае

> >, причем П>*>>f> действует фактически только на "видимую компоненту" g(), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g() в ноль.

Форма ИК компоненты f() может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований >2>() f>2>().

Некоторые применения.

Задачи идентификации сцен.

Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

Можно ли считать f() è g() изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?

 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå äëÿ èäåíòèôèêàöèè äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 5, à èìåííî, f() è g() ìîæíî ñ÷èòàòü èçîáðàæåíèÿìè îäíîé è òîé æå ñöåíû, åñëè ñóùåñòâóåò ðàñïðåäåëåíèå öâåòà > >, äëÿ êîòîðîãî v(()) ñîäåðæèò f() è g(). Åñëè > >, è > >, òî, î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò > >, ïðè êîòîðîì f(x)v(()), g(x)v(()), à èìåííî, > >, > >, åñëè > >, > >, åñëè > >, è, íàêîíåö, > > - ïðîèçâîëüíî, åñëè > >.

Íà ïðàêòèêå óäîáíåå èñïîëüçîâàòü äðóãîé ïîäõîä, ïîçâîëÿþùèé îäíîâðåìåííî ðåøàòü çàäà÷è ñîâìåùåíèÿ èçîáðàæåíèé è âûäåëåíèÿ îáúåêòîâ. Ìîæíî ëè, íàïðèìåð, ñ÷èòàòü g() èçîáðàæåíèåì ñöåíû, ïðåäñòàâëåííîé èçîáðàæåíèåì f()? Îòâåò ñëåäóåò ñ÷èòàòü óòâåðäèòåëüíûì, åñëè

> >.

Çäåñü () - ðàñïðåäåëåíèå öâåòà íà èçîáðàæåíèè f(), ñèìâîë ~0 îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèå (g()) ìîæíî îáúÿñíèòü íàëè÷èåì øóìà, êàêèõ-ëèáî äðóãèõ ïîãðåøíîñòåé, èëè, íàêîíåö, - íàëè÷èåì èëè, íàîáîðîò, îòñóòñòâèåì îáúåêòîâ îáúÿñíÿþùèì íåñîâïàäåíèå g() è f() ñ òî÷íîñòüþ äî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòåé. Òàêèå îáúåêòû, èçìåíèâøèå ðàñïðåäåëåíèå öâåòà g() ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàñïðåäåëåíèåì öâåòà f(), ïðåäñòàâëåíû â > >.

2).Èäåíòèôèêàöèÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì èçìåíåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè è ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîì èçìåíåíèè ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà îñâåùåíèÿ.

Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü èçîáðàæåíèåì ñöåíû, ïðåäñòàâëåííîé íà èçîáðàæåíèè f(), èçîáðàæåíèå, ïîëó÷åííîå ïðè èçìåíèâøèõñÿ óñëîâèÿõ ðåãèñòðàöèè, íàïðèìåð, ïåðåìåùåíèåì èëè èçìåíåíèåì òåíåé è èçìåíåíèåì ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà îñâåùåíèÿ?

Ïóñòü Ï - ôîðìà â øèðîêîì ñìûñëå èçîáðàæåíèÿ f(), îïðåäåëåííàÿ â òåîðåìå @, Ï>*> - ôîðìà f(). Òîãäà îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ ìîæíî ñ÷èòàòü óòâåðäèòåëüíûì, åñëè > >. Åñëè èçìåíåíèå g() îáóñëîâëåíî íå òîëüêî èçìåíèâøèìèñÿ óñëîâèÿìè ðåãèñòðàöèè, íî òàêæå ïîÿâëåíèåì è (èëè) èñ÷åçíîâåíèåì íåêîòîðûõ îáúåêòîâ, òî èçìåíåíèÿ, îáóñëîâëåííûå ýòèì ïîñëåäíèì îáñòîÿòåëüñòâîì áóäóò ïðåäñòàâëåíû íà > >.

3). Çàäà÷è ñîâìåùåíèÿ èçîáðàæåíèé è ïîèñêà ôðàãìåíòà.

Ïóñòü f() - çàäàííîå èçîáðàæåíèå, AX - ïîäìíîæåñòâî ïîëÿ çðåíèÿ, >A>() - åãî èíäèêàòîð, >A>()f() -íàçîâåì ôðàãìåíòîì èçîáðàæåíèÿ f() íà ïîäìíîæåñòâå A, ïðåäñòàâëÿþùåì âûäåëåííûé ôðàãìåíò ñöåíû, èçîáðàæåííîé íà f(). Ïóñòü g() - èçîáðàæåíèå òîé æå ñöåíû, ïîëó÷åííîå ïðè äðóãèõ óñëîâèÿõ, â ÷àñòíîñòè, íàïðèìåð, ñäâèíóòîå, ïîâåðíóòîå, ò.å. ãåîìåòðè÷åñêè èñêàæåííîå ïî ñðàâíåíèþ ñ f(). Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óêàçàòü íà g() ôðàãìåíò èçîáðàæåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèé íà f() ôðàãìåíò ñöåíû è ñîâìåñòèòü åãî ñ >A>()f().

Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà óïîìÿíóòûå ãåîìåòðè÷åñêèå èñêàæåíèÿ ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ãðóïïîé ïðåîáðàçîâàíèé R>2>->R>2>, ïðåîáðàçîâàíèå èçîáðàæåíèÿ > > íàçîâåì ñäâèãîì g() íà h. Çäåñü

Q(h): R>n>->R>n>, hH, - ãðóïïà îïåðàòîðîâ. Âåêòîðíûé ñäâèã íà hH äàñò

> >.

 çàäà÷å âûäåëåíèÿ è ñîâìåùåíèÿ ôðàãìåíòà ðàññìîòðèì ôðàãìåíò ñäâèíóòîãî íà h èçîáðàæåíèÿ g() â “îêíå” A:

> > (100)

ïðè÷åì, ïîñêîëüêó > > ãäå > > òî â (100) > > - îãðàíè÷åíèå íà ñäâèã “îêíà” À, êîòîðîå äîëæíî îñòàâàòüñÿ â ïðåäåëàõ ïîëÿ çðåíèÿ X.

Åñëè êðîìå öâåòà g() ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò f(), ñêàæåì, ïðîèçâîëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòè ïðè íåèçìåííîì ðàñïðåäåëåíèè öâåòà è > > - ôîðìà ôðàãìåíòà f(), òî çàäà÷à âûäåëåíèÿ è ñîâìåùåíèÿ ôðàãìåíòà ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé çàäà÷å íà ìèíèìóì

> >.(101)

Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ôðàãìåíò èçîáðàæåíèÿ g(), ñîîòâåòñòâóþùèé ôðàãìåíòó >A>()f(), áóäåò ïîìåùåí â “îêíî”.À ïóòåì ñîîòâåòñòâóþùåãî ñäâèãà h=h>*>, ñîâïàäàåò ñ >A>()f() > >ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòè íà íåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

> >.

ò.å. â (101) ïðè h=h>*> äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì.

4).  ðÿäå ñëó÷àåâ âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à àíàëèçà ñïåêòðîçîíàëüíûõ èçîáðàæåíèé: âûäåëèòü îáúåêòû êîòîðûå “âèäíû”, ñêàæåì, â ïåðâîì êàíàëå è “íå âèäíû” â îñòàëüíûõ.

Ðàññìîòðèì äâà èçîáðàæåíèÿ > > è > >. Îïðåäåëèì ôîðìó â øèðîêîì ñìûñëå > > êàê ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé > >: > > (A - ëèíåéíûé îïåðàòîð R>2>->R>2>, íå çàâèñÿùèé îò xX). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîåêòîðà íà > > ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà ìèíèìóì

> >. [*]

Ïóñòü > >, > >, òîãäà çàäà÷à íà ìèíèìóì [*] ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé: tr A*AS - 2trAB >~> > >. Åå ðåøåíèå > > (çíàêîì - îáîçíà÷åíî ïñåâäîîáðàùåíèå).

> >=> >

> >=> >

Ðèñ.1.

f>e> - âåêòîð âûõîäíûõ ñèãíàëîâ äåòåêòîðîâ, îòâå÷àþùèé èçëó÷åíèþ e(), >e> - åãî öâåò; >1>,>2>,>3>, - âåêòîðû (öâåòà) áàçîâûõ èçëó÷åíèé, - áåëûé öâåò, êîíåö âåêòîðà íàõîäèòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè áèññåêòðèñ.

Ëèòåðàòóðà.

[1] Ïûòüåâ Þ.Ï. Ìîðôîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ â çàäà÷àõ àíàëèçà èçîáðàæåíèé, - Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1975, ò. 224, ¹6, ññ. 1283-1286.

[2] Ïûòüåâ Þ.Ï. Ìîðôîëîãè÷åñêèé àíàëèç èçîáðàæåíèé, - Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1983, ò. 296, ¹5, ññ. 1061-1064.

[3] Ïûòüåâ Þ.Ï. Çàäà÷è ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà èçîáðàæåíèé, - Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ïðèðîäíûõ ðåñóðñîâ çåìëè èç êîñìîñà, ðåä. Çîëîòóõèí Â.Ã., Íàóêà, Ìîñêâà, 1984, ññ. õõõõ-õõõõõ.

[4] Ïûòüåâ Þ.Ï., ×óëè÷êîâ À.È. ÝÂÌ àíàëèçèðóåò ôîðìó èçîáðàæåíèÿ, - Çíàíèå,ñåð. Ìàòåìàòèêà, Êèáåðíåíòèêà, Ìîñêâà, 1988, 47 ñòð.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6] Àíòîíþê Â.À., Ïûòüåâ Þ.Ï. Ñïåöïðîöåññîðû ðåàëüíîãî âðåìåíè äëÿ ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà ðåàëüíûõ ñöåí. Îáðàáîòêà èçîáðàæåíèé è äèñòàíöèîííîå èññëåäîâàíèÿ, -Íîâîñèáèðñê, 1981, ññ. 87-89.

[7] Àíòîíþê Â.À., Ïûòüåâ Þ.Ï., Ðàó Ý.È. Àâòîìàòèçàöèÿ âèçóàëüíîãî êîíòðîëÿ èçäåëèé ìèêðîýëåêòðîíèêè,Ðàäèîòåõíèêà è ýëåêòðîíèêà, 1985, ò. ÕÕÕ,¹12, ññ. 2456-2458.

[8] Åðìîëàåâ À.Ã., Ïûòüåâ Þ.Ï. Àïðèîðíûå îöåíêè ïîëåçíîãî ñèãíàëà äëÿ ìîðôîëîãè÷åñêèõ ðåøàþùèõ àëãëðèòìîâ, - Àâòîìàòèçàöèÿ, 1984, ¹5, ññ. 118-120.

[9] Ïûòüåâ Þ.Ï, Çàäîðîæíûé Ñ.Ñ., Ëóêüÿíîâ À.Å. Îá àâòîìàòèçàöèè ñðàâíèòåëüíîãî ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà ýëåêòðîííîìèêðîñêîïè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, - Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, ñåð. ôèçè÷åñêàÿ, 1977, ò. 41, ¹11, ññ. õõõõ-õõõõ.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.

[11] Ïûòüåâ Þ.Ï.. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èíòåðïðåòàöèè ýêñïåðèìåíòà, Âûñøàÿ øêîëà, 351 ñòð., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

1 Íàïðèìåð, â ñâÿçè ñ èçìåíåíèåì âðåìåíè ñóòîê, ïîãîäû, âðåìåíè ãîäà è ò.ï.

2 Ôðàãìåíò ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà öâåòíûõ èçîáðàæåíèé ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå[3].

3 âåêòîð f>e> áóäåò èìåòü îòðèöàòåëüíûå êîîðäèíàòû, åñëè îí íå ïðèíàäëåæèò âûïóêëîìó êîíóñó

> >

4÷åðòà ñèìâîëèçèðóåò çàìûêàíèå, > > - âûïóêëûé çàìêíóòûé êîíóñ â R>n>.

5 Если > > - более детальное изображение , то некоторые A() могут “ращепиться” на несколько подмножеств A(), на каждом из которых цвет > > постоянный, но различный на разных подмножествах A(). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f(), v(f()) не может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену.

6 Äëÿ ïðîñòîòû ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé â êàæäîé òî÷êå ïîëÿ çðåíèÿ Õ.

7> >- êëàññ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé > > ïðèíàäëåæàùèõ > >.

8Îäíà è òà æå áóêâà F èñïîëüçîâàíà êàê äëÿ îïåðàòîðà > >, òàê è äëÿ îïåðàòîðà > >. Ýòà âîëüíîñòü íå äîëæíà âûçûâàòü íåäîðàçóìåíèÿ è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ðàáîòå.

9Åñëè (A>s>)=0, òî â çàäà÷å íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ (18) öâåò è ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè íà A>s> ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîëüíûìè, ïîñêîëüêó èõ çíà÷åíèÿ íå âëèÿþò íà âåëè÷èíó íåâÿçêè s.

10Âåêòîðû >1>,..., >q >âûáèðàþòñÿ, íàïðèìåð, ñîîáðàçíî öâåòàì îáúåêòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ èíòåðåñ.

1