Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы»

Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы»

Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Параметры цепи: R>1> = 15 Ом; R>2> = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Решение.

Классический метод.

Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:

i(t) = i>пр>(t) + i>св>(t); u(t) = u>пр>(t)+ u>св>(t), (1)

где , а .

1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i>1>(0–) равен току i>3>(0–), ток i>2>(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

,

откуда

= 4 А.

Напряжение на емкости равно нулю [u>C>(0–) = 0].

2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации i>L>(0–) = i>L>(0+), т.е. ток i>3>(0+) = 4 А. По второму закону коммутации u>C>(0–) = u>C>(0+) = 0.

Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R>2> и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:

или

;

i>1>(0+) = i>2>(0+) + i>3>(0+) = 14 А.

Напряжение на сопротивлении R>2> равно Е – u>C>(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.

= 10 А;

= 100 В; ;

4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = i>пр>(0+) + i>св>(0+) и u(0+) = u>пр>(0+) + u>св>(0+).

i>св1>(0+) = 4 А; i>св2>(0+) = 10 А; i>св3>(0+) = –6 А; u>св>>L>(0+) = u>свС>(0+) = 0; .

5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.

;

(2)

Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости – из уравнения . Т.е.

и ,

откуда

; (3)

Подставляя (3) в (2), после решения получаем:

; ; ;

Все полученные результаты заносим в таблицу.

i>1>

i>2>

i>3>

u>L>

u>C>

u>R2>

t = 0+

14

10

4

0

0

100

10

0

10

0

0

100

4

10

–6

0

0

0

–105

–105

0

106

106

–106

6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R>2>:

.

Заменим j на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:

или

R>2>CLp2 + pL + R>2> = 0.

Откуда находим корни р>1> и р>2>.

р>1> = –1127, р>2> = –8873.

7. Определим постоянные интегрирования А>1> и> >2>. Для чего составим систему уравнений:

;

или

;

Например, определим постоянные интегрирования для тока i>1> и напряжения u>L>. Для тока i>1> уравнения запишутся в следующем виде:

4 = А>1>>i> + А>2>>i>;

.

После решения: А>1>>i> = –8,328 А, А>2>>i> = 12,328 А.

для напряжения u>L>:

;

.

После решения: = 129,1 В, = –129,1 В.

8. Ток i>1> cогласно (1) изменяется во времени по закону:

i>1>(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t,

а напряжение u>L>:

u>L>(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.