Случайные величины и способы их описания. Основные понятия теории вероятности, применяемые при испытаниях РЭСИ
Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский государственный университет информатики и
радиоэлектроники
кафедра РЭС
РЕФЕРАТ
на тему:
«Случайные величины и способы их описания. Основные понятия теории вероятности, применяемые при испытаниях РЭСИ»
МИНСК, 2008
Случайные величины и способы их описания
Случайные величины могут быть:
дискретными (если количество возможных значений конечно);
непрерывными.
Характеристикой случайной величины является закон распределения, т.е. связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими их вероятностями.
Для непрерывных случайных величин используют четыре способа аналитического описания законов распределения:
• плотность распределения f(x);
• интегральная функция
распределения
• обратная интегральная функция
распределения
• функция интенсивности
Соответствующие графические зависимости
Рисунок 1 - Графические зависимости законов распределения
Таким образом, распределения случайных величин Т, Т>в>, Т>с>, Т>д>, задаваемые в любой из возможных форм, являются характеристиками надежности (безотказности, ремонтопригодности, сохраняемости и долговечности).
Широко используются в инженерной практике различные численные показатели надежности (показатели безотказности, сохраняемости, долговечности, ремонтопригодности). В качестве таких показателей используются числовые характеристики соответствующих случайных величин.
Наиболее широко используются математические ожидания:
среднее время безотказной работы Т;
среднее время восстановления Т>в>;
среднее время сохраняемости Т>с>;
средний срок службы Т>с.с>;
средний ресурс Т>р> и другие показатели.
Приведем основные показатели для восстанавливаемой и невосстанавливаемой аппаратуры.
Таблица 1 - Основные показатели для восстанавливаемой и невосстанавливаемой аппаратуры
|
Составля- |
Случайная |
Математическая |
Показатели |
надежности |
|
ющая |
величина |
модель |
Невосстанав- |
Восстанавлива- |
|
надежности |
распределения |
ливаемая |
емая |
|
|
Безотказ- |
Время |
Экспоненциаль- |
Т- среднее |
Т- наработка на |
|
ность |
безотказной |
ное |
время |
отказ. |
|
работы Т |
Нормальное |
безотказной |
Р(t)- |
|
|
Гамма |
работы. |
вероятность |
||
|
Р(t)- |
безотказной |
|||
|
вероятность |
работы. |
|||
|
безотказной |
λ,- параметр |
|||
|
работы за |
потока отказов |
|||
|
заданное |
||||
|
время. |
||||
|
λ,- интенсив- |
||||
|
ность отказов |
||||
|
Ремонто- |
Время |
Эрланга |
Т>в>- среднее |
|
|
пригод- |
восстанов- |
Нормальное |
время |
|
|
ность |
ления |
Экспоненциаль- |
восстановления. |
|
|
Т>в> |
ное |
F>B>(τ)- |
||
|
вероятность |
||||
|
восстановления |
||||
|
работоспособ- |
||||
|
ности отказав- |
||||
|
ших изделий за |
||||
|
заданное время. |
||||
|
Сохраня- |
Время |
Нормальное |
Те же, что и |
Т>с>- среднее |
|
емость |
хранения |
Логарифмичес- |
для восстанав- |
время |
|
до потери |
ки-нормальное |
ливаемой. |
сохраняемости. |
|
|
изделием |
Гамма |
G>c>(τ)- |
||
|
своих |
Вейбула |
вероятность |
||
|
характе- |
Экспоненциаль- |
сохранения |
||
|
ристик Т>с> |
ное |
технических |
||
|
характеристик |
||||
|
в течении |
||||
|
задан-ного |
||||
|
времени |
||||
|
τ>Gt> -гамма- |
||||
|
процентный |
||||
|
срок |
||||
|
сохраняемости |
||||
|
Долговеч- |
Время от |
Нормальное |
Показатели, |
Т>с>.>с>-средний |
|
ность |
начала |
Логарифмически- |
как и для |
срок службы. |
|
эксплуата- |
нормально |
показателей |
Т>р>-средний |
|
|
ции до |
Гамма |
безотказности. |
ресурс. |
|
|
предель- |
Вейбула |
T>c>.>с.j>- гамма- |
||
|
ного сос- |
Экспоненциаль- |
процентный |
||
|
тояния Тд |
ное |
срок службы |
||
|
Т>с>.>с.> - срок |
G>cc>(τ)- |
|||
|
службы. |
вероятность |
|||
|
Т>р>-техни- |
того, что срок |
|||
|
ческий |
службы образца |
|||
|
ресурс. |
превысит |
|||
|
зоданное время. |
||||
|
G>p>(τ)- |
||||
|
вероятность |
||||
|
того, что ресурс |
||||
|
изделия |
||||
|
превысит τ |
Для количественной оценки безотказности по результатам испытаний наиболее часто используют следующие характеристики:
• вероятность безотказной работы изделия на момент времени t.
Характер изменения вероятности безотказной работы РЭСИ от времени выглядит следующим образом:
Рисунок 2 - Характер изменения вероятности безотказной работы РЭСИ от времени
Площадь, ограниченная функцией P(t) и осями координат численно равна средней наработке изделия до отказа. При заданной min вероятности безотказной работы Р>2>
Можно по графику определить значение гарантийной наработки t>г>:
(1)
где n- число изделий, работоспособных при t>i>=0; Δd>i>- число отказов изделий за Δt>i>.
• интенсивность отказов λ(t) - показывает, какая доля исправных в начальный момент рассматриваемого промежутка времени изделий в выборке отказывает к концу этого промежутка:
(2)
где d>i>— общее число отказавших изделий к началу промежутка времени Δt>i> Δd>i>- число отказавших изделий за Δt>i>.
По рассчитанным частным значениям λ можно построить функцию зависимости отказов от времени, т.е. лямбда характеристику:
Рисунок 3 - Лямбда характеристика:
I - период приработки;
II - рабочая область;
III - область износа.
Интенсивность отказов связана с P(t) соотношением:
(3)
средняя наработка до отказа:
(4)
где Т>i> - наработка i-го экземпляра.
Требования к содержанию программы испытаний на надежность
(ГОСТ 21317-87)
1. Объем испытаний.
указывают полное наименование аппаратуры в соответствии с ГОСТ 26794 и стадию производства;
число аппаратов и порядок их отбора;
изготовителя аппаратуры;
комплектность;
перечень составных частей, замена которых предусмотрена в ходе испытаний.
2. Категория испытаний.
Указывается вид испытаний с учетом следующих признаков:
назначение испытаний (контрольные, определительные);
стадия производства (например, испытания готовой продукции - квалификационные, предъявительские, приемо-сдаточные, типовые, аттестационные, сертификационные);
место проведения испытаний;
продолжительность или объем испытаний
3. Цель испытаний.
Указываются конкретные цели и задачи, которые должны быть достигнуты и решены в процессе испытаний. Цель испытаний должна соответствовать виду испытаний.
4. Общие положения.
Указывается:
перечень руководящих документов, на основании которых проводят испытания.
место и продолжительность испытаний;
организации (предприятия, учавствующие в испытаниях);
перечень ранее проведенных испытаний, порядок использования их результатов;
перечень предъявляемых на испытания конструкторских и технологических документов.
5. Объем испытаний.
Перечень этапов испытаний и проверок, номенклатуру и значения показателей надежности, подлежащих контролю;
последовательность, продолжительность и режимы испытаний для каждого показателя надежности;
исходные данные для планирования испытаний каждого вида или непосредственно планы конторля показателей (тип плана, объем выборки, правила принятия решения);
требования к наработке аппаратуры в процессе испытаний;
перечень работ, проводимых после завершения испытаний, требования к ним, объем и порядок проведения;
Дополнительно могут быть указаны и другие требования, согласованные между разработчиком и заказчиком.
6. Условия и порядок проведения испытаний.
Указывают:
условия проведения испытаний в соответствии со стандартами по надежности и ТУ на конкретный вид аппаратуры;
условия начала и завершения отдельных видов испытаний;
ограничения на проведение испытаний;
порядок и правила контроля (оценки) показателей надежности, регламентирующие методы испытаний на надежность аппаратуры конкретного типа;
порядок взаимодействия организаций при проведении испытаний;
требования к квалификации и численности персонала, порядок его допуска к испытаниям;
порядок привлечения экспертов для исследования отказов аппаратуры;
меры, обеспечивающие безопасность и безаварийность проведения испытаний (в виде подраздела "Требования безопасности труда").
7. Материально-техническое обеспечение испытаний.
Указывают конкретные виды материально-технического обеспечения с распределением задач и обязанностей организаций (предприятий), учавствующих в испытании, устанавливаются сроки готовности материально-технического обеспечения.
Могут вводится подразделы: материально - технического, математического, обеспечения документацией и др.
8. Метрологическое обеспечение.
Приводят перечень необходимых средств измерений с указанием метрологических характеристик и назначения их при испытаниях, сроки их поверки.
9. Отчетность
Указывают перечень отчетных документов, которые должны оформляться в процессе испытаний и по их завершении, с указанием организаций и предприятий, утверждающих их, и сроков выполнения документов.
10. Приложения
Указывают перечень методик испытаний, применяемых для оценки показателей надежности.
Основные понятия теории вероятности, применяемые при испытаниях РЭСИ
В процессе испытаний ЭС приходится иметь дело со случайными событиями. Если сдаётся партия изделий, состоящая из N образцов и в ней имеется D дефектных изделий, то вероятность извлечения из этой партии дефектного образца:
Q=D÷N (5)
а извлечения бездефектного образца
P=(N-D) ÷ N=1-Q (6)
Величины Q и P называют генеральными характеристиками. Если D = 0, то Р = 1 , т.е. такое событие называют достоверным
Если, D = N т.е. Р = 0 - невозможное событие.
На практике имеем дело с практически невозможными (P→0) и практически достоверными (P→l) событиями.
Если методом случайного поиска или отбора из сдаваемой партии изделий взята выборка объёмом n изделий и в ней окажется d дефектных изделий, то
q = q÷n — статистическая вероятность дефектных изделий и p = (n-d) ÷n=1-q -статистическая вероятность бездефектных изделий.
Величины q и p-выборочные характеристики.
С ростом числа изделий в выборке статистические вероятности q и p приближаются к значениям генеральных характеристик Q и P.
Выборные характеристики, с помощью которых делают статистические выводы относительно генеральной совокупности, называют оценками генеральных характеристик. Чтобы дать представление о точности и надёжности оценки числа D дефектных изделий в выборке, пользуются доверительными границами.
Вероятность нахождения оцениваемого параметра в доверительных границах называют достоверностью.
Обычно достоверность берётся близкой к 1 и составляет 0,9; 0,95; 0,99.
Достоверность P* называют односторонней, если она отражает степень нашего доверия к тому, что Q ≥ Q>H> или Q ≤ Q>В>, где Q>Н> и Q>В>- нижняя и верхняя доверительные границы.
Двусторонняя достоверность может быть записана как
Q>h>≤Q≤Q>b>
На практике для расчета доверительных границ пользуются специальной таблицей, в которой приводятся коэффициенты К>Н> и К>В> для расчёта доверительных границ Q>Н> и Q>В>, при этом
Q>В>=К>В>/n (7)
Q>Н>=К>Н>/n при определённых значениях достоверности.
Определение объёма выборки
Слишком большой объём выборки приводит к недопустимым потерям времени и средств, малый объём - к сомнениям относительно достоверности полученных результатов.
Обычно при подготовке НТД поставщик по согласованию с заказчиком заранее устанавливает число дефектных изделий d>доп> , которое допускается в выборке при приёмке партии. Если окажется, что d > d>доп>, то партия изделий не принимается.
Т.о. наименьшее число отказавших изделий в испытываемой выборке, при котором результаты испытаний считаются положительными, называют приёмочным числом С.
Кривая зависимости вероятности P>оп> приёмки партии изделий по результатам испытаний выборки объёмом n от заданной вероятности Q отказа изделий в партии, из которой взята выборка, называется оперативной характеристикой плана контроля надёжности изделий.
Рисунок 4 - Оперативная характеристика
Если для контролируемой партии вероятность отказа равна Q>1> и воспользоваться оперативной характеристикой можно определить Р.
Если Q=0,1, то Р=0,9, т.е. следует ожидать что 10% изделий будет забраковано по результатам испытаний выборки.
Если предположить, что партия имеет Q=0,9, то Р=0,1, т.е. 10% партии будет принято заказчиком.
При выборочном контроле надёжности партии Q>2> соответствующий риску β заказчика, называют браковочным уровнем показателя надёжности.
Значение показателя надёжности изделия, вероятность забракования которых равна риску ос изготовителя, называют приёмочным уровнем Q>1>. Оба уровня могут быть определены по оперативной характеристике при заданных α и β
Приведём вид оперативной характеристики для нескольких значений числа С.
Рисунок 5 - Вид оперативной характеристики для нескольких значений числа С
Т.е. чем круче оперативная характеристика, тем меньше различие между приёмочным и браковочным уровнями.
ЛИТЕРАТУРА
Глудкин О.П. Методы и устройства испытания РЭС и ЭВС. – М.: Высш. школа., 2001 – 335 с
Испытания радиоэлектронной, электронно-вычислительной аппаратуры и испытательное оборудование/ под ред. А.И.Коробова М.: Радио и связь, 2002 – 272 с.
Млицкий В.Д., Беглария В.Х., Дубицкий Л.Г. Испытание аппаратуры и средства измерений на воздействие внешних факторов. М.: Машиностроение, 2003 – 567 с
Национальная система сертификации Республики Беларусь. Мн.: Госстандарт, 2007
Федоров В., Сергеев Н., Кондрашин А. Контроль и испытания в проектировании и производстве радиоэлектронных средств – Техносфера, 2005. – 504с.