Криптосистеми
Криптосистеми
1. ОБЧИСЛЮВАЛЬНО СТІЙКІ ТА ЙМОВІРНО СТІЙКІ КРИПТОСИСТЕМИ
Криптоаналітик знає криптиосистему, може мати апаратуру, може перехоплювати криптограми. При цьому, криптоаналітик може визначити:
- М>і> → С>j> – ? ;
- K>ij> → М>і> → С>j> – ?
Атака при відомих парах повідомлень та криптограм
М>і> → С>j>; K>ij> – ?
Атака з вибором повідомлення
Криптоаналітик знає М>і> та алгоритм зашифровування
-
Мі →
Алгоритм зашифровування
Kij
→ Сj
(М>і >, С>j>) → K>ij> – ?
Атака з вибором криптограм
-
Сj →
Розшифровування
Kij
→ Мі
(С>j> , М>і>) → K>ij>
Адаптивна атака
Така атака, при якій може здійснюватись зашифровування та розшифровування
Визначення обчислювально стійкої криптосистеми та умови реалізації
Обчислювально стійка криптосистема визначається як така, у якої
.
Така система може будуватись як і безумовно стійка криптосистема. У обчислювально стійких криптосистемах замість ключової послідовності К>i> використовують Г>i>.
Процес – процес гамаутворення (шифроутворення).
Розшифровування здійснюється аналогічно з безумовно стійкою криптосистемою:
Ключ повинен породжуватись рівно ймовірно, випадково та незалежно. Як правило, більшість пристроїв працюють з бітами.
,
.
Функція Ψ, для забезпечення необхідного рівня стійкості, повинна задовольняти ряду складних умов:
Період повторення повинен бути не менше допустимої величини:
Закон формування гами повинен забезпечувати „секретність” гами. Тобто, Г>і> повинна протистояти криптоаналітику
В якості показника оцінки складності гами використовується структурна скритність:
,
,
де
– повний період;
–
кількість бітів, які
криптоаналітик повинен одержати, щоб
зробити обернення функції Ψ, тобто
знайти ключ.
Відновлюваність гами в просторі та часі.
Відсутність колізії, тобто, співпадання відрізків гами.
Розглянута система відноситься до класу симетричних.
В якості оцінки стійкості використовується така множина параметрів
.
1.
=128,
192, 256, 512
.
2.
біт.
3. Безпечний час для атаки типу „груба сила”:
.
4. Відстань єдності шифру
.
Можна показати, що для обчислювально
стійкої криптосистеми справедливо
співвідношення:
,
де
– умовна апостеріорна ентропія
криптоаналітика;
–
ентропія джерела ключів;
l – довжина зашифрованого тексту або гами;
d – збитковість мови (під надмірністю d розуміється ступінь корельованості (залежності) символів у мові і не порівняно ймовірностні їхньої появи в повідомленні);
m – розмірність алфавіту.
Криптоаналіз вважається
успішним, якщо
=0.
Фізичний зміст l>0> – мінімальна кількість гами шифрування, яку необхідно достовірно перехопити, щоби мати можливість розв’язати задачу визначення ключа, або обернення функції Ψ. Якщо n < l>0> , то однозначно повідомлення.
Імовірно стійка криптосистема відноситься до класу асиметричної:
При відомому одного з цих ключів складність повинна бути не нижче ніж субекспоненціальна
.
В залежності від виду двохключових перетворень криптоперетворення можна розділити на:
1) криптоперетворення в кільцях. Задача факторизації модуля на два простих числа:
2) криптоперетворення в полях Галуа GF(p). Задача розв’язання обернення функції:
,
де
– відкритий ключ;
– первісний елемент;
–
особистий ключ;
Р – просте число.
3) криптоперетворення в групах точок еліптичних кривих E(GF(q)). Задача розв’язання дискретного логарифму:
,
де d – особистий ключ;
Q – відкритий ключ;
G – базова точка;
q – поле.
2. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ КРИПТОПЕРЕТВОРЕНЬ
Криптоперетворення розподіляються на:
- симетричні, якщо виконується умова:
,
або ключ обчислюється не нижче ніж з поліноміальною складністю;
-асиметричні, якщо виконується умова:
,
або ключ може бути обчислений при знанні іншого не нижче ніж з субекспоненційною складністю.
Поліноміальною складністю називається така складність, при якій n входить в основу:
Субекспоненційною складністю називається така складність, при якій n входить в показник:
.
Основною ознакою для таких криптоперетворень являється ключ (або ключі). Кожне криптоперетворення задається прямим і зворотнім перетворенням:
Основні асиметричні криптоперетворення по математичному базису:
перетворення в полях GF(p);
перетворення в кільцях N>Z>;
перетворення на еліптичних кривих EC.
Основні симетричні криптоперетворення по математичному базису:
1) афінні:
,
де А – деяка матриця;
2) нелінійні: не можна представити у вигляді лінійної функції.
В залежності від виду симетричні криптоперетворення діляться на:
- підстановка;
- гамування;
- управляємий зсув бітів;
- перестановка і інші елементарні перетворення.
Сутність асиметричних криптоперетворень в кільці
Нехай М>і> – блок інформації, який треба захистити. Представимо цей блок у вигляді числа l>M>. Використовується ключова пара (Е>к>, D>к>), що породжується випадково.
Пряме перетворення:
,
де
- функція Ейлера.
.
Зворотне перетворення:
,
т.ч. перетворення зворотне і однозначне.
Стійкість проти атак в кільці визначається складністю факторизації числа N на прості числа P та Q.
Сутність асиметричних криптоперетворень в полі
Нехай є просте поле Галуа GF(p). Для кожного p існує множина первісних елементів:
.
Кожний первісний елемент породжує поле:
.
Криптоперетворення пов’язані з побудуванням пари ключів. Нехай є два користувачі А та В.
|
А |
В |
|
Х>А> |
Х>В> |
|
|
|
де Х>А>, Х>В> – випадкові ключі довжиною l>k>;
Y>А>, Y>В> – відкриті ключі.
При побудуванні використовуються властивості поля.
,
де r – сеансовий ключ.
Користувач А передає користувачу
В пару
.
Потім користувач В обчислює:
.
Таким чином, перетворення в полі є зворотнім та однозначним.
Модель криптоаналітика
заключається в тому, що необхідно знайти
Х>В>.
Реалізуючи рівняння відносно Х>В>
одержимо секретний ключ. Стійкість
проти атак в полі визначається складністю
розв’язання рівняння
.
Сутність асиметричних криптоперетворень в групі точок еліптичних кривих
За 20 років розроблено нові математичні апарати, які дозволяють ефективно розв’язувати рівняння, що реалізовані в полях та кільцях. В 90-х роках було запропоновано використовувати криптоперетворення, що базуються на перетвореннях в групі точок еліптичних кривих над полями GF(p), GF(2m), GF(pm).
Для випадку простого поля:
елементом перетворення є
точка на еліптичній кривій, тобто
,що
обчислюється за модулем р. Формується
ключова пара:
,
де
.
,
де G – базова точка на еліптичній кривій порядку
Q>A >– відкритий ключ, точка на еліптичній кривій з координатами (х>а>, у>а>).
Задача криптоаналітика знайти таємний ключ d>A>. Складність розв’язку цього рівняння набагато вище, ніж в полі. В полі – субекспоненційна складність, а в групі точок еліптичних кривих – експоненційна складність.
3. СИМЕТРИЧНІ КРИПТОПЕРЕТВОРЕННЯ
Застосовувані на практиці криптоперетворення розділяють на 2 класи по стійкості:
обчислювально стійкі.
ймовірно стійкі (доказово стійкі).
Основним показником, по якому оцінюються такого роду системи є безпечний час:
Nвар – кількість команд, операцій для рішення задачі криптоаналізу.
- продуктивність криптосистеми, вар/сек.
k – коефіцієнт кількості
сек/рік
Рр – імовірність рішення задачі.
ВР і ДС повинні задовольняти. До доказово стійких перетворень відносять перетворення з відкритими ключами, з відкритим поширенням ключів і т.д. У цих системах задача криптоаналізу полягає в рішенні якоїсь іншої математичної задачі. Обчислювально стійкі системи реалізуються за рахунок застосування симетричних криптоперетворень.
У симетричних криптосистемах ключ зашифрування або збігається з ключем розшифрування, або обчислюється один з іншого з поліноміальною складністю.
Поліноміальна складність
Нехай n – розмірність вхідних даних, що підлягають криптоперетворенню і нехай t(n) є складність перетворення цих даних у сек. тактах, командах. Складність називають поліноміальної, якщо вона представлена:
- набір констант.
-
експонентна складність
В даний час як функцію f реалізуючої криптоперетворення використовуються афінні шифри.
Афінне перетворення – перетворення, яке можна одержати комбінуючи рухи, дзеркальні відображення і гомотепію в напрямку координатних осей.
Гомотепія – перетворення простору чи площини щодо точки по направляючим осях з коефіцієнтами.
До афінних шифрів відносяться шифри зрушення, лінійні афінні шифри.
У потокових криптоперетвореннях об'єктами взаємодії є символи повідомлення Мi і символи ключа j, причому з використанням символів ключа формується Гi.
Мi , j
,
Р
ис
1
Розшифрування:
При обчисленні необхідно строго синхронізувати по i, тобто: Гi при розшифруванні і зашифруванні та сама.
М – ічне шифрування (по mod).
Приклад:
Двійкове гамування
Гi повинна породжуватися псевдовипадковим чи випадковим процесом. Реалізація процесу повинна залежати від вихідного ключа.
Правильне розшифрування виконується за умови, що відправник і одержувач використовують той самий ключ, вони можуть сформувати однакові гами. Необхідно забезпечити синхронізацію по i.
Симетричні криптоперетворення, якщо або:
,
або можуть бути обчислені один при знанні іншого не нижче ніж з поліноміальною складністю.
Симетричні шифри діляться на блокові та потокові шифри.
Блокові симетричні шифри використовуються в чотирьох режимах роботи:
блокового шифрування;
потокового шифрування;
потокового шифрування зі зворотнім зв’язком по криптограмі;
вироблення імітоприкладки;
вироблення псевдопослідовностей (ключів).
Побудування таких шифрів здійснюється на використані декількох елементарних табличних або криптографічних перетворень. До них відносяться:
афінні перетворення;
перетворення типу підстановка (перестановка) символів;
гамування (складання з ключем);
аналітичної підстановки (заміни).
Основні криптоперетворення симетричного типу
Афінний шифр
Твердження 1
Нехай
є мова за алфавітом
і алфавіт мови співпадає з алфавітом
криптограми. Кожному символу поставлене
число. Тоді існує афінний шифр з ключем
,
елементами якого є:
,
якщо найменший спільний
дільник
.
В афінному шифрі зашифровування здійснюється таким чином:
,
а розшифровування:
,
де
,
.
Цей шифр є однозначно зворотнім.
Лінійний шифр
Твердження 2
Якщо в афінному шифрі
,
то існує лінійний взаємозворотній шифр,
у якому зашифровування здійснюється
як:
,
а розшифровування:
.
Твердження 3
Якщо в афінному шифрі
,
то існує адитивний однозначно зворотній
шифр правилом шифрування:
,
.
доведення здійснюється з урахуванням афінного шифру
.
У вказаних шифрах вимога не виконується. Симетрія шифру заключається в тому, що ключі поліноміально легко зв’язані і один може бути легко визначени при знанні іншого.
Шифр „Підстановка в полі”
Розв’язок можна звести до розв’язку діафантового рівняння:
.
Таким чином:
.
.
Нехай
,
таким чином поліном
:
.
Як правило, таке перетворення використовується як табличне. Воно здійснюється без ключа, ключем може бути тільки примітивний поліном.